Analiza matematyczna · Poradnik

Ekstrema i monotoniczność — jak badać funkcję pochodną?

Pochodna pozwala zbadać, gdzie funkcja rośnie lub maleje. Kluczem nie jest samo rozwiązanie równania f′(x)=0, lecz sprawdzenie znaków pochodnej po obu stronach punktów krytycznych.

1. Algorytm: od pochodnej do ekstremów

Krok 1 — dziedzina i pochodna

Najpierw ustal, na jakich przedziałach funkcja jest określona i różniczkowalna. Oblicz pochodną.

Krok 2 — punkty krytyczne

Rozwiąż równanie f′(x)=0f'(x)=0 i sprawdź punkty dziedziny, w których pochodna nie istnieje.

Krok 3 — znaki pochodnej

Podziel dziedzinę na przedziały wyznaczone punktami krytycznymi. Sprawdź znak pochodnej na każdym z nich.

Krok 4 — wniosek

Podaj przedziały wzrostu i spadku oraz współrzędne znalezionych ekstremów lokalnych.

2. Pełny przykład z tabelą znaków

Badamy funkcję

f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x

Wyznacz pochodną i jej zera

f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)
f′(x)=0⇔x=−1 lub x=1f'(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=-1\text{ lub }x=1

Tabela znaków pochodnej

PrzedziałPochodnaFunkcja
(−∞,−1)(-\infty,-1)+ dodatniarośnie ↗
(−1,1)(-1,1)− ujemnamaleje ↘
(1,+∞)(1,+\infty)+ dodatniarośnie ↗

Ekstrema lokalne

f(−1)=2(maksimum lokalne)f(-1)=2\quad\text{(maksimum lokalne)}
f(1)=−2(minimum lokalne)f(1)=-2\quad\text{(minimum lokalne)}

Współrzędne punktów ekstremalnych: (−1,2)(-1,2) oraz (1,−2)(1,-2).

Materiał wideo uzupełniający rozwiązania i wzory przedstawione powyżej.

3. Jak nie pomylić maksimum z minimum?

Plus → minus

Funkcja najpierw rośnie, a potem maleje: otrzymujesz maksimum lokalne.

Minus → plus

Funkcja najpierw maleje, a potem rośnie: otrzymujesz minimum lokalne.

Nie pomijaj punktów brzegowych

Przy szukaniu ekstremów globalnych na przedziale domkniętym porównaj także wartości funkcji na końcach przedziału. Samo badanie pochodnej wewnątrz nie wystarcza.

4. Samodzielne zadania

01

Wyznacz minimum funkcji kwadratowej.

Dane do zadania

f(x)=x2−4x+1f(x)=x^2-4x+1
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

  1. Pochodna: 2x−4.
  2. Równa się zeru dla x=2.
  3. Pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni.

Odpowiedź

f(2)=−3(minimum)f(2)=-3\quad\text{(minimum)}
02

Czy punkt x=0 jest ekstremum funkcji x³?

Dane do zadania

f(x)=x3f(x)=x^3
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Znak pochodnej

f′(x)=3x2≥0f'(x)=3x^2\ge0

Odpowiedź

Nie. Funkcja jest rosnąca po obu stronach zera, a znak pochodnej nie przechodzi z dodatniego na ujemny ani odwrotnie.

03

Wyznacz ekstremum w punkcie, w którym pochodna nie istnieje.

Dane do zadania

f(x)=|x−2|f(x)=|x-2|
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Jak rozwiązać?

Dla x<2 funkcja jest malejąca (pochodna −1), a dla x>2 rosnąca (pochodna +1). W x=2 pochodna nie istnieje, ale minimum nadal występuje.

Odpowiedź

xmin=2,f(2)=0x_{\min}=2,\qquad f(2)=0
04

Zbadaj wartości największą i najmniejszą na przedziale domkniętym.

Dane do zadania

f(x)=x2,x∈[−1,2]f(x)=x^2,\qquad x\in[-1,2]
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Jak rozwiązać?

Sprawdź punkt krytyczny x=0 i końce przedziału x=−1 oraz x=2. Wartości wynoszą odpowiednio 0, 1 i 4.

Odpowiedź

minf=0 (x=0),maxf=4 (x=2)\min f=0\ (x=0),\qquad \max f=4\ (x=2)
05

Zlokalizuj dwa ekstrema lokalne funkcji sześciennej.

Dane do zadania

f(x)=x3−6x2+9xf(x)=x^3-6x^2+9x
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Jak rozwiązać?

Pochodna f′(x)=3(x−1)(x−3). Jest dodatnia przed 1, ujemna między 1 i 3, dodatnia po 3; stąd w 1 maksimum, w 3 minimum.

Odpowiedź

f(1)=4 (maks.),f(3)=0 (min.)f(1)=4\ \text{(maks.)},\qquad f(3)=0\ \text{(min.)}

Przeczytaj także

Chcesz przećwiczyć cały dział?

Przejdź od pojedynczych przykładów do uporządkowanej nauki z rozwiązaniami zadań i wyjaśnieniami krok po kroku.

Poznaj kurs Granice i Pochodne

Możesz też wrócić do pełnej oferty kursów Calcula.