Analiza matematyczna · Poradnik

Granice z liczbą e — jak rozwiązywać zadania?

Wyrażenie z podstawą dążącą do 1 i wykładnikiem rosnącym bez ograniczeń może prowadzić do nieoznaczoności typu 1 do nieskończoności. Poznaj warunki, wzory i przykłady bez sztucznego „wymuszania” wyniku.

1. Skąd bierze się liczba e w granicach?

Liczba e jest granicą odpowiednio dobranego ciągu potęg. W zadaniach najczęściej pojawia się wtedy, gdy podstawa dąży do 1, a wykładnik rośnie co do modułu.

limx→∞(1+ax)bx=eab\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^{bx}=e^{ab}

Rozpoznaj strukturę

Sprawdź, czy u(x)→0u(x)\to0 i czy możesz zapisać wyrażenie jako:

(1+u(x))v(x)\big(1+u(x)\big)^{v(x)}

Policz iloczyn

Jeśli podstawa jest dodatnia dla rozważanych argumentów oraz istnieje skończona granica:

u(x)v(x)→Lu(x)v(x)\longrightarrow L

to dla u(x)→0u(x)\to0 otrzymujemy eLe^L (korzystając z własności logarytmu).

2. Rozwiązany przykład — granica prowadząca do e²

Zadanie

limx→∞(x+3x+1)x+1\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+3}{x+1}\right)^{x+1}

Krok 1. Zapisz podstawę jako 1 + u

x+3x+1=1+2x+1\frac{x+3}{x+1}=1+\frac{2}{x+1}

Krok 2. Pomnóż mały składnik przez wykładnik

2x+1⋅(x+1)=2\frac{2}{x+1}\cdot(x+1)=2

Krok 3. Odczytaj granicę

limx→∞(1+2x+1)x+1=e2\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2}{x+1}\right)^{x+1}=e^2

Materiał wideo uzupełniający rozwiązania i wzory przedstawione powyżej.

3. Dlaczego metoda działa? Logarytmowanie

Logarytm naturalny zamienia potęgę w iloczyn. To przydatne, gdy postać zadania nie pasuje bezpośrednio do zapamiętanego wzoru.

ln((1+u(x))v(x))=v(x)ln(1+u(x))\ln\big((1+u(x))^{v(x)}\big)=v(x)\ln(1+u(x))

Najważniejsza granica pomocnicza

limu→0ln(1+u)u=1\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1

Zatem przy u(x)v(x)→Lu(x)v(x)\to L mamy:

v(x)ln(1+u(x))=(v(x)u(x))ln(1+u(x))u(x)→Lv(x)\ln(1+u(x))=\big(v(x)u(x)\big)\frac{\ln(1+u(x))}{u(x)}\to L

Wracamy z logarytmu

lny→L⇒y→eL\ln y\to L\quad\Longrightarrow\quad y\to e^L

Typowy błąd: ignorowanie minusa

Na przykład (1−4x)2x\left(1-\frac4x\right)^{2x} dąży do e−8e^{-8}, a nie do e8e^8.

4. Zadania z odpowiedziami

01

Oblicz granicę z dodatnim współczynnikiem.

Dane do zadania

limx→∞(1+5x)3x\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac5x\right)^{3x}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

  1. Mały składnik to 5/x.
  2. Pomnóż go przez wykładnik 3x, otrzymując 15.

Odpowiedź

e15e^{15}
02

Oblicz granicę, uważając na znak.

Dane do zadania

limx→∞(x+1x+3)x+3\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+1}{x+3}\right)^{x+3}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Przepisz podstawę

x+1x+3=1−2x+3\frac{x+1}{x+3}=1-\frac2{x+3}

Odpowiedź

e−2e^{-2}
03

Zbadaj przypadek 1 do nieskończoności, w którym wynik wynosi 1.

Dane do zadania

limx→∞(1+1x2)x\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1{x^2}\right)^x
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Jak rozwiązać?

Przyjmij u(x)=1/x² oraz v(x)=x. Mamy u(x)→0 i u(x)v(x)=1/x→0; wynik to e do potęgi 0.

Odpowiedź

11
04

Oblicz granicę z wykładnikiem 1/x.

Dane do zadania

limx→0(1+2x)1/x\lim_{x\to0}(1+2x)^{1/x}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Jak rozwiązać?

Dla dostatecznie małych |x| podstawa jest dodatnia. Iloczyn małego składnika 2x i wykładnika 1/x jest równy 2; można też wziąć logarytm.

Odpowiedź

e2e^2
05

Czy zawsze dostajemy skończoną potęgę liczby e?

Dane do zadania

limx→0+(1+x)1/x2\lim_{x\to0^+}(1+x)^{1/x^2}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Jak rozwiązać?

Dla x→0⁺ logarytm potęgi jest równy ln(1+x)/x² = [ln(1+x)/x]·(1/x)→+∞. Zatem sama potęga rośnie bez ograniczeń. Nie wolno użyć wzoru ze skończonym L.

Odpowiedź

+∞+\infty

Przeczytaj także

Chcesz przećwiczyć cały dział?

Przejdź od pojedynczych przykładów do uporządkowanej nauki z rozwiązaniami zadań i wyjaśnieniami krok po kroku.

Kurs Granice i Pochodne — zobacz program

Możesz też wrócić do pełnej oferty kursów Calcula.