Analiza matematyczna · Poradnik

Granice z pierwiastkami — metoda sprzężenia

Gdy bezpośrednie podstawienie daje postać nieoznaczoną 0/0 z pierwiastkiem, warto sprawdzić, czy można usunąć problem przez pomnożenie licznika i mianownika przez odpowiednie wyrażenie sprzężone.

1. Dlaczego mnożenie przez sprzężenie pomaga?

u−v↔u+v\sqrt{u}-v\quad\longleftrightarrow\quad\sqrt{u}+v

W liczniku lub mianowniku szukamy sumy albo różnicy zawierającej pierwiastek. Mnożymy przez sprzężenie tej całej sumy lub różnicy — zarówno u góry, jak i na dole ułamka, gdzie ma to sens.

(u−v)(u+v)=u−v2(\sqrt{u}-v)(\sqrt{u}+v)=u-v^2

2. Przykład rozwiązany krok po kroku

Obliczamy granicę

limx→4x+5−3x−4\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}

Bezpośrednie podstawienie daje postać 00\frac{0}{0}, więc samo podstawienie nie rozstrzyga wyniku.

Rozpoznaj sprzężenie

x+5+3\sqrt{x+5}+3

Pomnóż licznik i mianownik

x+5−3x−4⋅x+5+3x+5+3\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}\cdot\frac{\sqrt{x+5}+3}{\sqrt{x+5}+3}
=(x+5)−9(x−4)(x+5+3)=\frac{(x+5)-9}{(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}

Skróć i podstaw

limx→41x+5+3=16\lim_{x\to4}\frac{1}{\sqrt{x+5}+3}=\frac16

Skracamy x−4x-4 dla x różnych od 4 i dopiero potem wyznaczamy granicę.

Materiał wideo uzupełniający rozwiązania i wzory przedstawione powyżej.

3. Najczęstsze błędy

Mnożenie tylko licznika

Pomnożenie samego licznika przez sprzężenie zmienia funkcję. W ułamku mnożymy przez wyrażenie równe 1.

Skracanie bez warunków

Skrócenie czynnika x−4x-4 jest poprawne w otoczeniu punktu 4, lecz nie w samym punkcie. Dlatego rozważamy granicę, a nie wartość funkcji w tym punkcie.

4. Sprawdź się

01

Oblicz granicę korzystając z wyrażenia sprzężonego.

Dane do zadania

limx→01+x−1x\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Sprzężenie

1+x−1x=11+x+1\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}

Wynik

limx→011+x+1=12\lim_{x\to0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}=\frac12
02

Policz granicę z pierwiastkiem z 4+x.

Dane do zadania

limx→04+x−2x\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{4+x}-2}{x}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

Mnożymy licznik i mianownik przez √(4+x)+2. Po skróceniu czynnika x zostaje 1/(√(4+x)+2), więc granica to 1/4.

Odpowiedź

14\frac14
03

Policz granicę, gdy pierwiastek znajduje się w mianowniku.

Dane do zadania

limx→9x−9x−3\lim_{x\to9}\frac{x-9}{\sqrt{x}-3}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

Rozkładamy licznik jako (√x−3)(√x+3). Po skróceniu pierwszego czynnika pozostaje √x+3, czyli 6.

Odpowiedź

66
04

Policz granicę z pierwiastkiem √(x+4).

Dane do zadania

limx→0x+4−2x\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

Sprzężenie daje (x+4)−4=x; po skróceniu i podstawieniu zostaje 1/(√4+2)=1/4.

Odpowiedź

14\frac14
05

Sprzężenie dwóch różnych pierwiastków.

Dane do zadania

limx→01+2x−1+xx\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt{1+x}}{x}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

Mnożymy przez sumę obu pierwiastków. Różnica kwadratów w liczniku wynosi x; po skróceniu zostaje odwrotność sumy, a ta dąży do 1/2.

Odpowiedź

12\frac12

Przeczytaj także

Chcesz przećwiczyć cały dział?

Przejdź od pojedynczych przykładów do uporządkowanej nauki z rozwiązaniami zadań i wyjaśnieniami krok po kroku.

Poznaj kurs Granice i Pochodne

Możesz też wrócić do pełnej oferty kursów Calcula.