Analiza matematyczna · Poradnik

Jak obliczyć pochodną funkcji? Wzory i przykłady

Pochodna opisuje tempo zmiany funkcji. W większości zadań wystarczy rozpoznać, z jakimi działaniami i funkcjami masz do czynienia, a następnie zastosować odpowiednią regułę.

Czym jest pochodna funkcji?

Pochodna w punkcie x0x_0 jest granicą ilorazu przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu, o ile taka skończona granica istnieje:

f′(x0)=limh→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

Geometrycznie jest to nachylenie stycznej do wykresu w punkcie. Na przykład pochodna równa 3 oznacza, że lokalnie wartość funkcji wzrasta około 3 jednostek przy zwiększeniu argumentu o 1 jednostkę — jest to przybliżenie dla małych zmian.

Podstawowe wzory na pochodne

Te wzory pozwalają rozwiązywać większość prostych zadań z pierwszych zajęć analizy:

(c)′=0,(xn)′=nxn−1(c)'=0,\qquad(x^n)'=nx^{n-1}
(f+g)′=f′+g′,(cf)′=cf′(f+g)'=f'+g',\qquad(cf)'=cf'
(ex)′=ex,(sinx)′=cosx,(cosx)′=−sinx(e^x)'=e^x,\quad(\sin x)'=\cos x,\quad(\cos x)'=-\sin x
(lnx)′=1x(x>0)(\ln x)'=\frac1x\qquad(x>0)

Nie zapomnij o dziedzinie: na przykład lnx\ln x jest funkcją rzeczywistą tylko dla dodatnich argumentów.

Jak obliczyć pochodną wielomianu? Przykład

Oblicz pochodną i wartość pochodnej w x = 2

f(x)=x3−2x2+4x−7f(x)=x^3-2x^2+4x-7

Różniczkujemy osobno każdy składnik, korzystając z reguły potęgowej:

f′(x)=3x2−4x+4f'(x)=3x^2-4x+4

Teraz podstawiamy x=2x=2:

f′(2)=3⋅4−4⋅2+4=8f'(2)=3\cdot4-4\cdot2+4=8

Otrzymujemy nachylenie stycznej równe 8.

Reguła łańcuchowa i pochodna iloczynu

Jeśli funkcja ma „warstwy”, np. potęgę nawiasu, przyda Ci się reguła łańcuchowa:

(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)

Pochodna funkcji złożonej

f(x)=(3x2+1)4f(x)=(3x^2+1)^4
f′(x)=4(3x2+1)3⋅6x=24x(3x2+1)3f'(x)=4(3x^2+1)^3\cdot6x=24x(3x^2+1)^3

Najpierw różniczkujemy zewnętrzną potęgę, a potem mnożymy przez pochodną wnętrza nawiasu.

W przypadku iloczynu dwóch funkcji nie wolno mnożyć samych pochodnych. Prawidłowa reguła to:

(fg)′=f′g+fg′(fg)'=f'g+fg'
(x2ex)′=2xex+x2ex=ex(2x+x2)(x^2e^x)'=2xe^x+x^2e^x=e^x(2x+x^2)

Pochodne — ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania

01

Oblicz pochodną funkcji.

Dane do zadania

f(x)=5x4−3x+8f(x)=5x^4-3x+8
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Korzystamy ze wzoru na pochodną potęgi, a pochodna stałej wynosi zero.

f′(x)=20x3−3f'(x)=20x^3-3
02

Oblicz pochodną funkcji złożonej.

Dane do zadania

f(x)=(x2+1)3f(x)=(x^2+1)^3
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Stosujemy regułę łańcuchową: pochodną funkcji zewnętrznej mnożymy przez pochodną funkcji wewnętrznej.

f′(x)=3(x2+1)2⋅2x=6x(x2+1)2f'(x)=3(x^2+1)^2\cdot2x=6x(x^2+1)^2
03

Ile wynosi pochodna funkcji stałej?

Dane do zadania

f(x)=12f(x)=12
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Funkcja stała nie zmienia wartości, dlatego jej pochodna wynosi zero.

f′(x)=0f'(x)=0

Przeczytaj także

Chcesz przećwiczyć cały dział?

Przejdź od pojedynczych przykładów do uporządkowanej nauki z rozwiązaniami zadań i wyjaśnieniami krok po kroku.

Zobacz kurs Granice i Pochodne

Możesz też wrócić do pełnej oferty kursów Calcula.