Algebra liniowa · Poradnik

Jak obliczyć macierz odwrotną? Dwie metody krok po kroku

Macierz odwrotna cofa działanie macierzy wyjściowej. Można ją znaleźć za pomocą dopełnień algebraicznych albo przekształceń elementarnych Gaussa-Jordana.

Warunek istnienia macierzy odwrotnej

Odwrotność istnieje wyłącznie dla macierzy kwadratowej o niezerowym wyznaczniku. Jeżeli wyznacznik wynosi zero, nie pomoże żadna metoda obliczeniowa: odwrotność po prostu nie istnieje.

detA≠0⇔A−1 istnieje\det A\neq0\quad\Longleftrightarrow\quad A^{-1}\text{ istnieje}

Macierz odwrotna 2×2 — najprostszy wzór

Dla macierzy 2×2 mamy wzór:

A=(abcd),A−1=1ad−bc(d−b−ca)A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},\quad A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}

W mianowniku stoi wyznacznik ad−bcad-bc. Jeśli jest równy zero, nie wolno dzielić przez niego i macierz nie ma odwrotności.

Przykład: policz odwrotność macierzy 2×2

A=(2153),detA=2⋅3−1⋅5=1A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix},\quad \det A=2\cdot3-1\cdot5=1
A−1=(3−1−52)A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}

Możesz sprawdzić, że iloczyn AA−1AA^{-1} to macierz jednostkowa.

Metoda Gaussa-Jordana — obliczenie krok po kroku

Metoda działa również dla większych macierzy. Zapisz obok siebie AA oraz macierz jednostkową II:

[21105301]\left[\begin{array}{cc|cc}2&1&1&0\\5&3&0&1\end{array}\right]

Wykonaj na całych wierszach następujące operacje: najpierw R2←2R2−5R1R_2\leftarrow 2R_2-5R_1, potem R1←R1−R2R_1\leftarrow R_1-R_2, na końcu R1←12R1R_1\leftarrow\frac12 R_1.

[103−101−52]\left[\begin{array}{cc|cc}1&0&3&-1\\0&1&-5&2\end{array}\right]

Lewa część zamieniła się w II, więc po prawej otrzymaliśmy dokładnie A−1A^{-1}. Jeśli nie uda się sprowadzić lewej strony do II, macierz nie jest odwracalna.

Macierz odwrotna 3×3 — Gauss-Jordan czy dopełnienia?

Dla macierzy 3×3 możesz zastosować ten sam algorytm Gaussa-Jordana, tylko z blokiem sześciu kolumn. Alternatywnie oblicz dziewięć dopełnień algebraicznych, transponuj macierz dopełnień i podziel przez wyznacznik:

A−1=1detAadj(A)A^{-1}=\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A)

Symbol adj(A)\operatorname{adj}(A) oznacza macierz dołączoną: transpozycję macierzy dopełnień algebraicznych.

Łatwy przykład macierzy 3×3

A=(110011001)A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}

Jest trójkątna i ma wyznacznik 1. Jej odwrotność wynosi:

A−1=(1−1101−1001)A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}

Przemnóż obie macierze, aby zweryfikować trzy jedynki na przekątnej i zera poza nią.

Macierz odwrotna — zadania z odpowiedziami

01

Sprawdź, czy macierz A ma odwrotność.

Dane do zadania

A=(1224)A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Nie. Wyznacznik jest równy zeru, więc macierz nie ma odwrotności.

detA=1⋅4−2⋅2=0\det A=1\cdot4-2\cdot2=0
02

Znajdź macierz odwrotną do macierzy diagonalnej A.

Dane do zadania

A=(2005)A=\begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

W macierzy diagonalnej zastępujemy niezerowe elementy przekątnej ich odwrotnościami.

A−1=(120015)A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac12&0\\0&\frac15\end{pmatrix}
03

Co otrzymasz po pomnożeniu dowolnej odwracalnej macierzy A przez jej odwrotność?

Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Macierz jednostkową o takim samym wymiarze. To podstawowy sposób sprawdzania obliczonej odwrotności.

AA−1=A−1A=IAA^{-1}=A^{-1}A=I

Przeczytaj także

Chcesz przećwiczyć cały dział?

Przejdź od pojedynczych przykładów do uporządkowanej nauki z rozwiązaniami zadań i wyjaśnieniami krok po kroku.

Zobacz kurs Macierze i Układy Równań

Możesz też wrócić do pełnej oferty kursów Calcula.