Algebra liniowa · Poradnik

Jak mnożyć macierze? Przykłady krok po kroku

Mnożenie macierzy polega na łączeniu wierszy pierwszej macierzy z kolumnami drugiej. Pokażę Ci cały rachunek — nie tylko regułę do zapamiętania.

Kiedy można mnożyć macierze? Warunek wymiarów

Jeśli AA ma mm wierszy i nn kolumn, a BB ma nn wierszy i pp kolumn, iloczyn ABAB ma wymiary m×pm\times p.

Am×nBn×p=Cm×pA_{m\times n}\,B_{n\times p}=C_{m\times p}

Przykład: macierz 2×3 można pomnożyć przez macierz 3×4, a wynik będzie miał rozmiar 2×4. Nie można natomiast obliczyć iloczynu macierzy 2×3 i 2×4 w tej kolejności.

Jak mnożyć macierze 2×2? Rozwiązany przykład

Weźmy dwie macierze:

A=(1234),B=(2015)A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2&0\\1&5\end{pmatrix}

Element w pierwszym wierszu i pierwszej kolumnie wyniku to 1⋅2+2⋅1=41\cdot2+2\cdot1=4. Pozostałe trzy pozycje obliczamy tak samo:

AB=(1⋅2+2⋅11⋅0+2⋅53⋅2+4⋅13⋅0+4⋅5)=(4101020)AB=\begin{pmatrix}1\cdot2+2\cdot1&1\cdot0+2\cdot5\\3\cdot2+4\cdot1&3\cdot0+4\cdot5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&10\\10&20\end{pmatrix}

Szybkie sprawdzenie, czy pamiętasz zasadę

Pierwszą liczbę wyniku otrzymujesz z pierwszego wiersza AA oraz pierwszej kolumny BB. Drugą — z pierwszego wiersza AA i drugiej kolumny BB.

Mnożenie macierzy prostokątnych: 2×3 razy 3×2

Przy większej liczbie składników nie zmienia się zasada: mnożymy odpowiadające sobie elementy i dodajemy.

A=(12301−1),B=(21034−2)A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&-1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\\4&-2\end{pmatrix}
AB=(1⋅2+2⋅0+3⋅41⋅1+2⋅3+3⋅(−2)0⋅2+1⋅0+(−1)⋅40⋅1+1⋅3+(−1)⋅(−2))=(141−45)AB=\begin{pmatrix}1\cdot2+2\cdot0+3\cdot4&1\cdot1+2\cdot3+3\cdot(-2)\\0\cdot2+1\cdot0+(-1)\cdot4&0\cdot1+1\cdot3+(-1)\cdot(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}14&1\\-4&5\end{pmatrix}

Wynik ma wymiary 2×2, ponieważ skrajne liczby wymiarów to 2 i 2.

Dlaczego AB nie musi być równe BA? Typowe błędy

W pierwszym przykładzie otrzymaliśmy AB=(4101020)AB=\begin{pmatrix}4&10\\10&20\end{pmatrix}, lecz po zmianie kolejności:

BA=(241622)≠ABBA=\begin{pmatrix}2&4\\16&22\end{pmatrix}\neq AB

Inne częste błędy to mnożenie liczb „w tych samych miejscach” zamiast wierszy przez kolumny, pomijanie składników sumy oraz pomyłki znakowe przy liczbach ujemnych.

Mnożenie macierzy — zadania z odpowiedziami

01

Oblicz iloczyn macierzy A i B.

Dane do zadania

A=(1023),B=(41−12)A=\begin{pmatrix}1&0\\2&3\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}4&1\\-1&2\end{pmatrix}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Każdy element wyniku otrzymujemy, mnożąc odpowiedni wiersz macierzy A przez kolumnę macierzy B i dodając iloczyny.

AB=(1⋅4+0⋅(−1)1⋅1+0⋅22⋅4+3⋅(−1)2⋅1+3⋅2)=(4158)AB=\begin{pmatrix}1\cdot4+0\cdot(-1)&1\cdot1+0\cdot2\\2\cdot4+3\cdot(-1)&2\cdot1+3\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&1\\5&8\end{pmatrix}
02

Czy można obliczyć iloczyn AB? Jeśli tak, podaj jego rozmiar.

Dane do zadania

A∈ℝ3×2,B∈ℝ2×5A\in\mathbb{R}^{3\times2},\qquad B\in\mathbb{R}^{2\times5}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Tak. Dwa wewnętrzne wymiary są równe 2. Wynik ma 3 wiersze i 5 kolumn.

AB∈ℝ3×5AB\in\mathbb{R}^{3\times5}
03

Czy równość AB = BA oznacza, że obie macierze są jednostkowe? Podaj kontrprzykład.

Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Nie. Na przykład dwie macierze diagonalne mogą być przemienne, chociaż żadna nie jest macierzą jednostkową.

A=(2003),B=(4005)A=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}4&0\\0&5\end{pmatrix}
AB=BA=(80015)AB=BA=\begin{pmatrix}8&0\\0&15\end{pmatrix}

Przeczytaj także

Chcesz przećwiczyć cały dział?

Przejdź od pojedynczych przykładów do uporządkowanej nauki z rozwiązaniami zadań i wyjaśnieniami krok po kroku.

Zobacz kurs Macierze i Układy Równań

Możesz też wrócić do pełnej oferty kursów Calcula.