Analiza matematyczna · Poradnik

Pochodna iloczynu i ilorazu — wzory i przykłady

Gdy funkcje są pomnożone lub podzielone przez siebie, nie różniczkujemy obu części osobno i nie łączymy wyników zwykłym mnożeniem albo dzieleniem. Poznaj dwie reguły na konkretnych obliczeniach.

1. Pochodna iloczynu — wzór i przykład

Rozpoznaj dwa czynniki

Oznacz je przez f i g. Pochodna iloczynu to suma dwóch składników, a nie iloczyn obu pochodnych.

ddx(f(x)g(x))=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)\frac{d}{dx}\big(f(x)g(x)\big)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

Przykład — funkcja i czynniki

h(x)=x2sinx,f(x)=x2,g(x)=sinxh(x)=x^2\sin x,\quad f(x)=x^2,\quad g(x)=\sin x

Krok 1: pochodne czynników

f′(x)=2x,g′(x)=cosxf'(x)=2x,\qquad g'(x)=\cos x

Krok 2: podstawienie do wzoru

h′(x)=2xsinx+x2cosxh'(x)=2x\sin x+x^2\cos x

2. Pochodna ilorazu — licznik, minus i kwadrat mianownika

Wzór na iloraz obowiązuje tam, gdzie mianownik jest niezerowy. Rozpoznaj funkcję w liczniku i funkcję w mianowniku.

(f(x)g(x))′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)[g(x)]2\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}

Przykład

h(x)=x2+1x−1,x≠1h(x)=\frac{x^2+1}{x-1},\qquad x\ne1

Licznik i mianownik

f(x)=x2+1,g(x)=x−1f(x)=x^2+1,\quad g(x)=x-1
f′(x)=2x,g′(x)=1f'(x)=2x,\quad g'(x)=1

Podstawiamy do wzoru

h′(x)=2x(x−1)−(x2+1)(x−1)2h'(x)=\frac{2x(x-1)-(x^2+1)}{(x-1)^2}

Upraszczamy licznik

h′(x)=x2−2x−1(x−1)2,x≠1h'(x)=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2},\quad x\ne1

Materiał wideo uzupełniający rozwiązania i wzory przedstawione powyżej.

3. Kiedy stosować którą regułę?

Iloczyn

Na najwyższym poziomie występuje mnożenie dwóch funkcji. Pojawiają się dwa składniki z plusem.

(fg)′=f′g+fg′(fg)'=f'g+fg'

Iloraz

Na najwyższym poziomie występuje dzielenie. W liczniku jest odejmowanie, a w mianowniku kwadrat.

(fg)′=f′g−fg′g2\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}

Uwaga na regułę łańcuchową

Jeśli dodatkowo czynnik zawiera złożenie, np. sin(x2)\sin(x^2), przy obliczaniu pochodnej tego czynnika zastosuj również regułę łańcuchową.

4. Sprawdź, czy umiesz zastosować obie reguły

01

Oblicz pochodną iloczynu.

Dane do zadania

h(x)=xcosxh(x)=x\cos x
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

  1. Rozdziel iloczyn na x oraz cos x.
  2. Różniczkuj obie funkcje i podstaw do reguły iloczynu.

Odpowiedź

h′(x)=cosx−xsinxh'(x)=\cos x-x\sin x
02

Oblicz pochodną ilorazu (x ≠ −1).

Dane do zadania

h(x)=xx+1h(x)=\frac{x}{x+1}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Reguła ilorazu

h′(x)=(x+1)−x(x+1)2h'(x)=\frac{(x+1)-x}{(x+1)^2}

Odpowiedź

h′(x)=1(x+1)2h'(x)=\frac{1}{(x+1)^2}
03

Zastosuj jednocześnie reguły iloczynu i łańcuchową.

Dane do zadania

h(x)=x2sin⁡(x2)h(x)=x^2\sin(x^2)
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Jak rozwiązać?

Pierwszy składnik to 2x·sin(x²). Drugi to x²·cos(x²)·2x. Dodaj składniki i sprawdź, czy nie pominięto pochodnej argumentu sinusa.

Odpowiedź

h′(x)=2xsin⁡(x2)+2x3cos⁡(x2)h\prime(x)=2x\sin(x^2)+2x^3\cos(x^2)
04

Policz pochodną ilorazu, pilnując dziedziny.

Dane do zadania

h(x)=x2+1x2−1h(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Jak rozwiązać?

W dziedzinie wykluczamy x=−1 i x=1. Licznik pochodnej wynosi 2x(x²−1)−(x²+1)·2x=−4x. Mianownik podnosimy do kwadratu.

Odpowiedź

h′(x)=−4x(x2−1)2,x≠±1h\prime(x)=\frac{-4x}{(x^2-1)^2},\quad x\ne\pm1
05

Połącz regułę iloczynu z pochodną wykładniczą.

Dane do zadania

h(x)=(x2+1)e3xh(x)=(x^2+1)e^{3x}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Jak rozwiązać?

Pochodna pierwszego czynnika wynosi 2x, drugiego 3e^(3x). Suma 2xe^(3x)+3(x²+1)e^(3x) upraszcza się po wyłączeniu wykładniczej.

Odpowiedź

h′(x)=e3x(3x2+2x+3)h\prime(x)=e^{3x}(3x^2+2x+3)

Przeczytaj także

Chcesz przećwiczyć cały dział?

Przejdź od pojedynczych przykładów do uporządkowanej nauki z rozwiązaniami zadań i wyjaśnieniami krok po kroku.

Zobacz kurs Granice i Pochodne

Możesz też wrócić do pełnej oferty kursów Calcula.