Analiza matematyczna · Poradnik

Reguła de l’Hospitala — kiedy wolno jej używać?

Reguła de l’Hospitala może uprościć granice ilorazów, ale trzeba najpierw sprawdzić typ nieoznaczoności i warunki twierdzenia. Nie jest to wzór na pochodną całego ilorazu.

1. Warunki stosowania reguły de l’Hospitala

Najpierw sprawdź typ granicy

Przy granicy obustronnej albo jednostronnej typu 00\frac{0}{0} lub ∞∞\frac{\infty}{\infty} wolno rozważyć zastosowanie reguły, jeśli funkcje spełniają wymagane warunki.

Co jeszcze musi zachodzić?

W odpowiednim przedziale po jednej lub obu stronach punktu funkcje muszą być różniczkowalne, pochodna mianownika nie może zerować się w rozważanym otoczeniu, a granica ilorazu pochodnych musi istnieć (dopuszczalnie jako ±∞). Uwzględniamy też właściwą granicę jednostronną, gdy sytuacja tego wymaga.

limx→af(x)g(x)=Hlimx→af′(x)g′(x)\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\overset{H}{=}\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}

2. Oblicz granicę krok po kroku

Granica

limx→0ex−1x\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}

Postać 0/0

Po podstawieniu w liczniku mamy e0−1=0e^0-1=0, w mianowniku także 0. Obie funkcje są różniczkowalne, a pochodna mianownika wynosi 1.

Pochodna licznika i mianownika

limx→0(ex−1)′x′=limx→0ex1\lim_{x\to0}\frac{(e^x-1)'}{x'}=\lim_{x\to0}\frac{e^x}{1}

Wynik

limx→0ex−1x=1\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1

Materiał wideo uzupełniający rozwiązania i wzory przedstawione powyżej.

3. Najczęstsze błędy

Iloraz pochodnych ≠ pochodna ilorazu

Wyrażenie f′g′\frac{f'}{g'} nie jest tym samym co (fg)′\left(\frac fg\right)'. To zupełnie różne operacje.

Stosowanie przy dowolnym ułamku

Granica o postaci np. 1/0 nie spełnia warunku nieoznaczoności 0/0 ani ∞/∞. Nie wolno automatycznie przechodzić do ilorazu pochodnych.

4. Pięć zadań do samodzielnego rozwiązania

01

Oblicz granicę przy x dążącym do 0.

Dane do zadania

limx→0sinxx\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Postać 0/0 i pochodne

limx→0(sinx)′x′=limx→0cosx1\lim_{x\to0}\frac{(\sin x)'}{x'}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}

Wynik

limx→0sinxx=1\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1

Przyjmujemy miarę łukową kąta.

02

Oblicz granicę typu nieskończoność przez nieskończoność.

Dane do zadania

limx→∞2x2+1x2+3\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+1}{x^2+3}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

Licznik i mianownik dążą do +∞. Stosując regułę de l’Hospitala, dostajemy granicę (4x)/(2x), czyli 2. Można też podzielić przez x².

Odpowiedź

22
03

Zastosuj regułę dwukrotnie do postaci 0/0.

Dane do zadania

limx→01−cos⁡xx2\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

Pierwszy raz przechodzimy do sin x/(2x), co nadal daje 0/0. Drugi raz otrzymujemy cos x/2, a jego granica wynosi 1/2.

Odpowiedź

12\frac12
04

Zdecyduj, czy wolno automatycznie użyć reguły.

Dane do zadania

limx→0+1x\lim_{x\to0^+}\frac1x
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

Tutaj licznik dąży do 1, a mianownik do 0. Nie ma postaci 0/0 ani ∞/∞, więc reguła de l’Hospitala w tej postaci nie ma zastosowania.

Odpowiedź

+∞+\infty
05

Oblicz granicę logarytmu naturalnego.

Dane do zadania

limx→0ln⁡(1+x)x\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

Otrzymujemy 0/0. Po osobnym zróżniczkowaniu licznika i mianownika granica jest równa 1/(1+x), czyli 1.

Odpowiedź

11

Przeczytaj także

Chcesz przećwiczyć cały dział?

Przejdź od pojedynczych przykładów do uporządkowanej nauki z rozwiązaniami zadań i wyjaśnieniami krok po kroku.

Zobacz kurs Granice i Pochodne

Możesz też wrócić do pełnej oferty kursów Calcula.