Algebra liniowa · Poradnik

Jak obliczyć rząd macierzy? Operacje elementarne

Rząd macierzy mówi, ile wierszy (równoważnie: kolumn) jest liniowo niezależnych. Nie musisz zgadywać rzędu na oko — wystarczy sprowadzić macierz do postaci schodkowej i policzyć niezerowe wiersze.

1. Jakie operacje nie zmieniają rzędu macierzy?

  1. Zamiana miejscami dwóch wierszy.
  2. Pomnożenie wiersza przez liczbę różną od zera.
  3. Dodanie do wiersza wielokrotności innego wiersza.

Oznaczamy wiersze jako R₁, R₂, R₃

R2←R2−2R1R_2\longleftarrow R_2-2R_1

Oznacza to: zastąp drugi wiersz różnicą drugiego wiersza i dwukrotności pierwszego. Nie trzeba mieć jedynki jako pierwszego niezerowego elementu, aby wykonać poprawną eliminację.

2. Przykład 3×3 — postać schodkowa

Dana macierz

A=(121242110)A=\begin{pmatrix}1&2&1\\2&4&2\\1&1&0\end{pmatrix}

Krok 1. Wyzeruj elementy pod pierwszym pivotem

R2←R2−2R1,R3←R3−R1R_2\leftarrow R_2-2R_1,\qquad R_3\leftarrow R_3-R_1
(1210000−1−1)\begin{pmatrix}1&2&1\\0&0&0\\0&-1&-1\end{pmatrix}

Krok 2. Przestaw niezerowy wiersz wyżej

R2↔R3R_2\longleftrightarrow R_3
(1210−1−1000)\begin{pmatrix}1&2&1\\0&-1&-1\\0&0&0\end{pmatrix}

Krok 3. Policz niezerowe wiersze

rank(A)=2\operatorname{rank}(A)=2

Otrzymaliśmy dwa niezerowe wiersze, z których każdy ma pierwszy niezerowy element w kolejnej kolumnie.

Materiał wideo uzupełniający rozwiązania i wzory przedstawione powyżej.

3. Co rząd mówi o macierzy i układzie równań?

Zależność liniowa

Drugi wiersz pierwotnej macierzy był dwukrotnością pierwszego, więc nie wnosił nowej niezależnej informacji. Trzeci wiersz nie był jego wielokrotnością — stąd rząd 2.

Rząd i kolumny

Rząd wierszowy i kolumnowy dowolnej macierzy są równe. Dla macierzy 3×3 rząd może wynosić od 0 do 3.

Kryterium Kroneckera–Capellego

Układ Ax=b ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy A jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej [A|b]. Gdy wspólny rząd jest równy liczbie niewiadomych, rozwiązanie jest jedyne; przy mniejszym rzędzie istnieje nieskończenie wiele rozwiązań.

Uważaj przy układach równań

Dla układu liniowego porównuje się rząd macierzy współczynników z rzędem macierzy rozszerzonej. Sam rząd macierzy współczynników nie wystarcza do stwierdzenia, czy układ jest sprzeczny.

4. Zadania z odpowiedziami

01

Policz rząd macierzy o proporcjonalnych wierszach.

Dane do zadania

A=(1224)A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Redukcja

R2←R2−2R1R_2\leftarrow R_2-2R_1
(1200)\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}

Odpowiedź

rank(A)=1\operatorname{rank}(A)=1
02

Policz rząd macierzy odwracalnej 2×2.

Dane do zadania

B=(1234)B=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Sprawdź wyznacznik

detB=1⋅4−2⋅3=−2≠0\det B=1\cdot4-2\cdot3=-2\ne0

Odpowiedź

rank(B)=2\operatorname{rank}(B)=2
03

Policz rząd macierzy prostokątnej z zależnymi wierszami.

Dane do zadania

A=(123246)A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\end{pmatrix}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Jak rozwiązać?

Drugi wiersz jest dwukrotnością pierwszego. Po operacji R₂←R₂−2R₁ zostaje jeden niezerowy wiersz.

Odpowiedź

rank(A)=1\operatorname{rank}(A)=1
04

Policz maksymalny możliwy rząd macierzy 2×3.

Dane do zadania

B=(102013)B=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&3\end{pmatrix}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Jak rozwiązać?

Wiersze są liniowo niezależne: dwa pivoty występują w kolumnach 1 i 2. Rząd nie może przekroczyć liczby wierszy.

Odpowiedź

rank(B)=2\operatorname{rank}(B)=2
05

Rozstrzygnij, czy układ równań jest sprzeczny, porównując rzędy.

Dane do zadania

{x+y=1,2x+2y=3.\begin{cases}x+y=1,\\2x+2y=3.\end{cases}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Jak rozwiązać?

W macierzy współczynników po R₂←R₂−2R₁ otrzymujemy wiersz zerowy. W macierzy rozszerzonej powstaje [0,0|1], a więc dodatkowy pivot w ostatniej kolumnie.

Odpowiedź

rank(A)=1,rank([A|b])=2\operatorname{rank}(A)=1,\quad \operatorname{rank}([A|b])=2

Przeczytaj także

Chcesz przećwiczyć cały dział?

Przejdź od pojedynczych przykładów do uporządkowanej nauki z rozwiązaniami zadań i wyjaśnieniami krok po kroku.

Kurs Macierze i Układy Równań

Możesz też wrócić do pełnej oferty kursów Calcula.