Algebra liniowa · Poradnik

Wzory Cramera — jak rozwiązać układ równań?

W metodzie Cramera rozwiązujemy układ równań liniowych za pomocą wyznaczników. Zobacz, co dokładnie podmieniać w macierzy i kiedy wzorów nie wolno stosować.

1. Kiedy działają wzory Cramera?

Macierz współczynników i wyrazy wolne

A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}

Wzory Cramera w tej postaci stosujemy dla układu kwadratowego — liczba niewiadomych jest taka jak liczba równań.

Warunek jednoznacznego rozwiązania

W=\det A\ne0

Wtedy układ ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Co jeśli W = 0?

Nie dziel przez zero. Same wzory Cramera nie rozstrzygają wtedy, czy układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, czy nie ma żadnego. Możesz użyć eliminacji Gaussa i porównać rzędy odpowiednich macierzy.

2. Pełny przykład układu 3×3

Dany układ

\begin{cases}x+y+z=6,\\y+z=5,\\x+z=4.\end{cases}

Uporządkuj współczynniki według kolejności zmiennych $x,y,z$ . Brak zmiennej oznacza współczynnik zero.

Macierz A i kolumna b

A=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}6\\5\\4\end{pmatrix}

Krok 1. Wyznacznik główny

W=\begin{vmatrix}1&1&1\\0&1&1\\1&0&1\end{vmatrix}=1

Jest niezerowy, więc możemy zastosować metodę Cramera.

Krok 2. Podmień kolejno kolumny

W_x=\begin{vmatrix}6&1&1\\5&1&1\\4&0&1\end{vmatrix}=1

W_y=\begin{vmatrix}1&6&1\\0&5&1\\1&4&1\end{vmatrix}=2

W_z=\begin{vmatrix}1&1&6\\0&1&5\\1&0&4\end{vmatrix}=3

Krok 3. Odczytaj rozwiązanie

x=\frac11=1,\qquad y=\frac21=2,\qquad z=\frac31=3

Po podstawieniu: $1+2+3=6$ , $2+3=5$ , $1+3=4$ — wszystko się zgadza.

Materiał wideo uzupełniający rozwiązania i wzory przedstawione powyżej.

3. Jak zapamiętać podmianę kolumn?

W: policz wyznacznik samej macierzy współczynników A.
Wx: podmień pierwszą kolumnę na wektor wyrazów wolnych b.
Wy: podmień drugą kolumnę na b.
Wz: podmień trzecią kolumnę na b.
Podziel każdy wyznacznik przez W i sprawdź rozwiązanie w równaniach.

4. Zadania z odpowiedziami

Rozwiąż układ 2×2 wzorami Cramera.

Dane do zadania

\begin{cases}x+y=5,\\x-y=1.\end{cases}

Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Wyznaczniki

W=-2,\qquad W_x=-6,\qquad W_y=-4

Odpowiedź

x=3,\qquad y=2

Czy wolno zastosować wzory Cramera do tej macierzy?

Dane do zadania

A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}

Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Sprawdź wyznacznik

\det A=4-4=0

Wniosek

Nie, klasyczne wzory Cramera wymagają niezerowego wyznacznika. Dalsza analiza układu wymaga uwzględnienia wektora wyrazów wolnych.

Rozwiąż układ 2×2 metodą Cramera.

Dane do zadania

\begin{cases}2x+y=5,\\x-y=1.\end{cases}

Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

Wyznacznik macierzy współczynników to −3. Po podmianie pierwszej kolumny otrzymujemy −6, a drugiej −3; dzielimy oba wyniki przez −3.

Odpowiedź

W=-3,\quad W_x=-6,\quad W_y=-3,\quad (x,y)=(2,1)

Co oznacza zerowy wyznacznik w układzie sprzecznym?

Dane do zadania

\begin{cases}x+y=1,\\2x+2y=3.\end{cases}

Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

Wiersze współczynników są proporcjonalne, lecz wyrazy wolne nie. Klasyczne wzory Cramera nie mają zastosowania; równania są sprzeczne.

Odpowiedź

W=0

Zastosuj Cramera do układu diagonalnego 3×3.

Dane do zadania

\begin{cases}x=2,\\2y=2,\\3z=9.\end{cases}

Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie

Wyznacznik główny jest iloczynem elementów diagonalnych: 6. Wyznaczniki po podmianie kolumn wynoszą odpowiednio 12, 6 i 18; stąd x=2, y=1, z=3.

Odpowiedź

W=6,\quad W_x=12,\quad W_y=6,\quad W_z=18

Przeczytaj także

Chcesz przećwiczyć cały dział?

Przejdź od pojedynczych przykładów do uporządkowanej nauki z rozwiązaniami zadań i wyjaśnieniami krok po kroku.

Zobacz kurs Macierze i Układy Równań

Możesz też wrócić do pełnej oferty kursów Calcula.