Zadanie Maturalne CKE

Wyznaczymy dziedzinę funkcji $P$. Wykorzystamy związek między wymiarami $x$ i $y$ oraz wykorzystamy warunki, jakie te wymiary spełniają: $$y = 150 - \frac{3}{4}x \quad \text{oraz} \quad y > 10 \quad \text{oraz} \quad x > 0$$ Zatem: $$150 - \frac{3}{4}x > 10 \quad \text{oraz} \quad x > 0$$ $$x < \frac{560}{3} \quad \text{oraz} \quad x > 0$$ Zmienna $x$ może przyjmować wartości: $$x \in \left(0, \frac{560}{3}\right)$$ Wykresem funkcji $P$ jest fragment paraboli $\mathcal{P}$ skierowanej ramionami do dołu. Funkcja $P$ przyjmuje wartość największą dla argumentu, który jest pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli $\mathcal{P}$. Współrzędną $x$ wierzchołka paraboli $\mathcal{P}$ obliczymy z miejsc zerowych funkcji kwadratowej, która jest równaniem tej paraboli. Rozwiążemy zatem równanie: $$2x\left(150 - \frac{3}{4}x\right) = 0$$ Z powyższego równania wynika, że: $$2x = 0 \quad \text{lub} \quad 150 - \frac{3}{4}x = 0$$ $$x_1 = 0 \quad \text{lub} \quad x_2 = 200$$ Funkcja $P$ przyjmuje wartość największą dla argumentu, który jest pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli $\mathcal{P}$, czyli dla: $$x = \frac{x_1 + x_2}{2} = 100 \text{ m}$$ Obliczymy drugi wymiar działki, dla którego pole powierzchni magazynowej jest największe: $$y = 150 \text{ m} - \frac{3}{4} \cdot 100 \text{ m} = 75 \text{ m}$$ Całkowite pole powierzchni magazynowej jest największe dla działki o wymiarach: $$x = 100 \text{ m} \quad \text{oraz} \quad y = 75 \text{ m}$$