Zadanie Maturalne CKE

Sposób 3. Zauważmy, że: - trójkąt $ACB$ jest równoramienny, gdzie: $|AC| = |CB|$ (na mocy twierdzenia o odcinkach stycznych). - trójkąt $ASD$ jest równoramienny, gdzie: $|SD| = |SA|$ (odcinki $SD$ i $SA$ są promieniami okręgu). - $|\angle SAC| = |\angle SBC| = 90^\circ$ (promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej) Oznaczmy $|\angle ACB| = \alpha$. Rozważmy czworokąt $ACBS$. Ponieważ suma miar kątów w czworokącie jest równa $360^\circ$, a kąty $SAC$ oraz $SBC$ są proste, to: $$|\angle ASB| = 360^\circ - |\angle SAC| - |\angle SBC| - |\angle ACB|$$ Zatem: $$|\angle ASB| = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - \alpha = 180^\circ - \alpha$$ Kąt $DSA$ jest przyległy do kąta $ASB$, zatem: $$|\angle DSA| = 180^\circ - |\angle ASB| = 180^\circ - (180^\circ - \alpha) = \alpha.$$ Długości dwóch boków trójkąta $ACB$ są proporcjonalne do odpowiednich długości dwóch boków trójkąta $ASD$ i kąty między tymi parami boków są przystające: $$\frac{|AC|}{|AS|} = \frac{|BC|}{|DS|} \quad \text{i} \quad |\angle ACB| = |\angle DSA| = \alpha$$ Trójkąty $ACB$ i $ASD$ są podobne na podstawie cechy bok – kąt – bok podobieństwa trójkątów.