Zadanie Maturalne CKE

Przykładowe pełne rozwiązania (Sposób 1). Analiza dowodu geometrycznego: 1. Wysokości trzech trójkątów: $CAW_1$, $ABW_2$, $BCW_3$, opuszczone z wierzchołków $W_1, W_2, W_3$ oznaczymy odpowiednio jako: $h_1, h_2, h_3$. Zapiszemy wzory na pola powierzchni tych trójkątów: $$P_1 = \frac{1}{2} \cdot h_1 \cdot |CA| \quad P_2 = \frac{1}{2} \cdot h_2 \cdot |AB| \quad P_3 = \frac{1}{2} \cdot h_3 \cdot |BC|$$ 2. Zapiszemy związki wynikające z podobieństwa trójkątów: $\Delta CAW_1 \sim \Delta ABW_2$, zatem $\frac{h_2}{h_1} = \frac{|AB|}{|CA|}$, więc $h_2 = h_1 \cdot \frac{|AB|}{|CA|}$ $\Delta CAW_1 \sim \Delta BCW_3$, zatem $\frac{h_3}{h_1} = \frac{|BC|}{|CA|}$, więc $h_3 = h_1 \cdot \frac{|BC|}{|CA|}$ 3. Ponownie zapiszemy wzory na pola trójkątów, wykorzystując powyższe zależności: $$P_1 = \frac{1}{2} \cdot h_1 \cdot |CA| \quad P_2 = \frac{1}{2} \cdot h_1 \cdot \frac{|AB|^2}{|CA|} \quad P_3 = \frac{1}{2} \cdot h_1 \cdot \frac{|BC|^2}{|CA|}$$ 4. Obliczymy sumę $P_1 + P_2$. $$P_1 + P_2 = \frac{1}{2} \cdot h_1 \cdot |CA| + \frac{1}{2} \cdot h_1 \cdot \frac{|AB|^2}{|CA|} = \frac{1}{2} \cdot h_1 \cdot \left( |CA| + \frac{|AB|^2}{|CA|} \right)$$ $$P_1 + P_2 = \frac{1}{2} \cdot h_1 \cdot \frac{|CA|^2 + |AB|^2}{|CA|}$$ 5. Wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta $ABC$: Ponieważ $|CA|^2 + |AB|^2 = |BC|^2$, to $$P_1 + P_2 = \frac{1}{2} \cdot h_1 \cdot \frac{|BC|^2}{|CA|}$$ 6. Prawa strona powyższego równania, na mocy pkt 3., jest równa $P_3$: $$P_1 + P_2 = P_3$$ To kończy dowód.