Zadanie Maturalne CKE

Sposób 1. 1. Wysokości trzech trójkątów: $CAW_1, ABW_2, CBW_3$, opuszczone z wierzchołków $W_1, W_2, W_3$ oznaczymy odpowiednio jako: $h_1, h_2, h_3$. Zapiszemy wzory na pola powierzchni tych trójkątów: $$P_1 = \frac{1}{2}h_1|AC| \quad P_2 = \frac{1}{2}h_2|AB| \quad P_3 = \frac{1}{2}h_3|CB|$$ 2. Zapiszemy związki wynikające z podobieństwa trójkątów: $$\Delta CAW_1 \sim \Delta ABW_2 \quad \text{zatem} \quad \frac{h_2}{h_1} = \frac{|AB|}{|AC|} \quad \text{więc} \quad h_2 = h_1 \cdot \frac{|AB|}{|AC|}$$ $$\Delta CAW_1 \sim \Delta CBW_3 \quad \text{zatem} \quad \frac{h_3}{h_1} = \frac{|CB|}{|AC|} \quad \text{więc} \quad h_3 = h_1 \cdot \frac{|CB|}{|AC|}$$ 3. Ponownie zapiszemy wzory na pola trójkątów, wykorzystując powyższe zależności: $$P_1 = \frac{1}{2}h_1|AC| \quad P_2 = \frac{1}{2}h_1 \cdot \frac{|AB|^2}{|AC|} \quad P_3 = \frac{1}{2}h_1 \cdot \frac{|CB|^2}{|AC|}$$ 4. Obliczymy sumę $P_1 + P_2$. $$P_1 + P_2 = \frac{1}{2}h_1|AC| + \frac{1}{2}h_1 \cdot \frac{|AB|^2}{|AC|} = \frac{1}{2}h_1 \left( |AC| + \frac{|AB|^2}{|AC|} \right)$$ $$P_1 + P_2 = \frac{1}{2}h_1 \left( \frac{|AC|^2 + |AB|^2}{|AC|} \right)$$ 5. Wykorzystamy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta $ABC$: Ponieważ $$|AC|^2 + |AB|^2 = |BC|^2$$ to $$P_1 + P_2 = \frac{1}{2}h_1 \left( \frac{|BC|^2}{|AC|} \right)$$ 6. Prawa strona powyższego równania, na mocy pkt 3., jest równa $P_3$: $$P_1 + P_2 = P_3$$ To kończy dowód.