Zadanie Maturalne CKE

Współczynniki przy kolejnych potęgach $x$ muszą być równe, zatem: $$\begin{cases} 3 = a \\ m = b + 2a \\ 3 = c + 2b \\ -2 = 2c \end{cases} \quad \text{stąd} \quad \begin{cases} a = 3 \\ b = 2 \\ c = -1 \\ m = 8 \end{cases}$$ Wielomian $Q(x)$ ma postać $Q(x) = 3x^2 + 2x - 1$. Pierwiastki wielomianu $W(x)$ obliczymy z jego postaci iloczynowej: $$W(x) = (x + 2)(3x^2 + 2x - 1) = 0$$ stąd $$x + 2 = 0 \quad \text{lub} \quad 3x^2 + 2x - 1 = 0$$ $$x = -2 \quad \text{lub} \quad x = -1 \quad \text{lub} \quad x = \frac{1}{3}$$ Sposób 2. Wyznaczymy jeden z pierwiastków $W(x)$. Wykorzystamy informację o rozkładzie wielomianu $W(x)$ na czynniki: $$W(x) = (x + 2)Q(x) = 0$$ stąd $x + 2 = 0$ czyli $x = -2$. Obliczymy $m$. Ponieważ $W(-2) = 0$, to: $$W(-2) = 3 \cdot (-2)^3 + m(-2)^2 + 3 \cdot (-2) - 2 = 0$$ $$-24 + 4m - 8 = 0$$ $$m = 8$$ Zatem: $$W(x) = 3x^3 + 8x^2 + 3x - 2$$ Wyznaczymy $Q(x)$ – zastosujemy algorytm dzielenia wielomianów: $$\begin{array}{l} (3x^3 + 8x^2 + 3x - 2) : (x + 2) = 3x^2 + 2x - 1 \\ \underline{-(3x^3 + 6x^2)} \\ \qquad \ 2x^2 + 3x - 2 \\ \qquad \underline{-(2x^2 + 4x)} \\ \qquad \qquad -x - 2 \\ \qquad \qquad \underline{-(-x - 2)} \\ \qquad \qquad \quad 0 \end{array}$$ Zatem: $$Q(x) = 3x^2 + 2x - 1$$