Zadanie Maturalne CKE

Sposób 2. Zauważmy, że:

• trójkąt $ACB$ jest równoramienny, gdzie: $|AC| = |CB|$ (na mocy twierdzenia o odcinkach stycznych).
• trójkąt $ASD$ jest równoramienny, gdzie: $|SD| = |SA|$ (odcinki $SD$ i $SA$ są promieniami okręgu).
• trójkąt $ASB$ jest równoramienny, gdzie: $|SA| = |SB|$ (odcinki $SA$ i $SB$ są promieniami okręgu).
• $|\angle SAC| = 90^\circ$ (promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej)

Oznaczmy: $|\angle BAC| = \beta$. Ponieważ trójkąt $ACB$ jest równoramienny, więc $|\angle CBA| = |\angle BAC| = \beta$ oraz $|\angle ACB| = 180^\circ - 2\beta$ Wtedy $|\angle SAB| = |\angle SAC| - |\angle BAC| = 90^\circ - \beta$. Ponieważ trójkąt $ASB$ jest równoramienny, więc $|\angle SBA| = 90^\circ - \beta$. Kąt $DSA$ jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt wpisany $SBA$, zatem: $|\angle DSA| = 2 \cdot |\angle SBA| = 2 \cdot (90^\circ - \beta) = 180^\circ - 2\beta$. Długości dwóch boków trójkąta $ACB$ są proporcjonalne do odpowiednich długości dwóch boków trójkąta $ASD$ i kąty między tymi parami boków są przystające: $\frac{|AC|}{|AS|} = \frac{|BC|}{|DS|} \quad \text{i} \quad |\angle ACB| = |\angle DSA| = 180^\circ - 2\beta$ Trójkąty $ACB$ i $ASD$ są podobne na podstawie cechy bok – kąt – bok podobieństwa trójkątów.