Zadanie Maturalne CKE

Sposób 3. Wysokości trójkątów $ABC$ i $DBE$ opuszczone – odpowiednio – z wierzchołków $C$ i $E$ oznaczymy jako $h_C$, $h_E$. 1. Zapiszemy wzór na pole trójkąta $ABC$ i wykorzystamy dane zadania: $$P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h_C$$ $$20 = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h_C$$ stąd $$|AB| \cdot h_C = 40$$ 2. Zapiszemy wzór na pole trójkąta $DBE$ i wykorzystamy warunek zadania: $$P_{DBE} = \frac{1}{2} \cdot |DB| \cdot h_E$$ $$P_{DBE} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{3}{4} \cdot |AB| \right) \cdot h_E$$ $$P_{DBE} = \frac{3}{8} \cdot |AB| \cdot h_E$$ 3. Trójkąty $C_1BC$ oraz $E_1BE$ są podobne (na podstawie cechy: kąt – kąt – kąt), zatem: $$\frac{|EE_1|}{|CC_1|} = \frac{|BE|}{|BC|} \quad \text{stąd} \quad \frac{h_E}{h_C} = \frac{1}{5}$$ 4. Do otrzymanego wzoru na pole trójkąta $DBE$ (punkt 2.) podstawimy wynik z punktu 3. i wynik z punktu 1.: $$P_{DBE} = \frac{3}{8} \cdot |AB| \cdot h_E = \frac{3}{8} \cdot |AB| \cdot \frac{h_C}{5} = \frac{3}{40} \cdot |AB| \cdot h_C = \frac{3}{40} \cdot 40 = 3$$