Zadanie Maturalne CKE

Przykładowe pełne rozwiązania. Sposób 1. 1. Wprowadzimy oznaczenia: $\sphericalangle BDA = \alpha$, $\sphericalangle ABD = \beta$. To są kąty w trójkącie prostokątnym $ABD$, zatem: $\alpha + \beta = 90^\circ$. 2. Wyodrębnimy trójkąty prostokątne: $ABD$, $ECD$. W tych trójkątach wyznaczymy kąty ostre. Skorzystamy z zależności, że $\alpha + \beta = 90^\circ$ oraz z własności kątów naprzemianległych. Na podstawie cechy: kąt, kąt, kąt, stwierdzamy, że trójkąty $ABD$, $ECD$ są podobne (zobacz rysunek obok). 3. Ponieważ $tg \alpha = 2$, to $|AB| = 4$. Zatem $|DC| = 4$. 4. Obliczymy $|BD|$ z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $ABD$: $|BD|^2 = |DA|^2 + |AB|^2 = 2^2 + 4^2 = 20$ $|BD| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ 5. Z podobieństwa trójkątów $ABD$, $ECD$ obliczymy długość odcinka $EC$. $\frac{|DA|}{|BD|} = \frac{|EC|}{|DC|}$ zatem $\frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{|EC|}{4}$ więc $|EC| = \frac{4}{\sqrt{5}}$