Zadanie Maturalne CKE

Sposób 2. Obwody trójkątów: $CAW_1$, $ABW_2$, $BCW_3$ oznaczymy odpowiednio jako $O_1$, $O_2$, $O_3$. 1. Wykorzystamy zależności między obwodami a polami figur płaskich podobnych: $$\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{O_2}{O_1}\right)^2 \quad \frac{P_3}{P_1} = \left(\frac{O_3}{O_1}\right)^2$$ 2. Wykorzystamy fakt, że stosunki obwodów trójkątów podobnych są równe stosunkom długości podstaw tych trójkątów: $$\frac{O_2}{O_1} = \frac{|AB|}{|CA|} \quad \frac{O_3}{O_1} = \frac{|BC|}{|CA|}$$ 3. Z zależności 1. i 2. wynika: $$\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{|AB|}{|CA|}\right)^2 \quad \frac{P_3}{P_1} = \left(\frac{|BC|}{|CA|}\right)^2$$ $$P_2 = \frac{|AB|^2}{|CA|^2} \cdot P_1 \quad P_3 = \frac{|BC|^2}{|CA|^2} \cdot P_1$$ 4. Obliczymy sumę $P_1 + P_2$: $$P_1 + P_2 = P_1 + \frac{|AB|^2}{|CA|^2} \cdot P_1 = P_1 \cdot \left(1 + \frac{|AB|^2}{|CA|^2}\right)$$ $$P_1 + P_2 = P_1 \cdot \frac{|CA|^2 + |AB|^2}{|CA|^2}$$ 5. Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $ABC$: $$|CA|^2 + |AB|^2 = |BC|^2$$ Zatem równanie w drugim wierszu pkt 4. można zapisać w postaci: $$P_1 + P_2 = P_1 \cdot \frac{|BC|^2}{|CA|^2}$$ Prawa strona powyższego równania, na mocy pkt 3., jest równa $P_3$: $$P_1 + P_2 = P_3$$ To kończy dowód.