Zadanie Maturalne CKE

Sposób 2. Punkt $A$ jest punktem wspólnym prostych $AB$ i $AD$, zatem współrzędne tego punktu są rozwiązaniem układu równań $$\begin{cases} y = x - 2 \\ y = 3x - 6 \end{cases}$$ Stąd $$x - 2 = 3x - 6$$ $$-2x = -4$$ $$x = 2$$ $$y = 0$$ Zatem $A = (2,0)$. Oznaczmy przez $M_{AB}$ środek odcinka $AB$. Prosta $SM_{AB}$ jest równoległa do prostej $AD$, zatem współczynnik kierunkowy prostej $SM_{AB}$ jest równy $3$. Wyznaczamy równanie prostej $SM_{AB}$. Skorzystamy ze wzoru na równanie kierunkowe prostej o danym współczynniku kierunkowym, która przechodzi przez dany punkt (zobacz w Wybranych wzorach matematycznych). $$y = 3\left(x - \frac{11}{2}\right) + \frac{17}{2}$$ $$y = 3x - 8$$ Punkt $M_{AB}$ jest punktem wspólnym prostych $AB$ i $SM_{AB}$, zatem współrzędne tego punktu są rozwiązaniem układu równań $$\begin{cases} y = x - 2 \\ y = 3x - 8 \end{cases}$$ Stąd $$x - 2 = 3x - 8$$ $$-2x = -6$$ $$x = 3$$ $$y = 1$$ Zatem $M_{AB} = (3, 1)$. Punkt $M_{AB}$ jest środkiem odcinka $AB$, więc $$\frac{2 + x_b}{2} = 3 \quad \text{oraz} \quad \frac{0 + y_b}{2} = 1$$ $$x_b = 4 \quad \text{oraz} \quad y_b = 2$$ Zatem $B = (4, 2)$.