Zadanie Maturalne CKE

Sposób 2. 1. Zastosujemy oznaczenia: $\measuredangle BDA = \alpha$, $\measuredangle ABD = \beta$. To są kąty w trójkącie prostokątnym $ABD$, zatem: $\alpha + \beta = 90^\circ$ 2. Wyodrębnimy trójkąty prostokątne: $ABD, BCE, ECD$. W tych trójkątach wyznaczymy kąty ostre. Skorzystamy z zależności, że $\alpha + \beta = 90^\circ$ oraz z własności kątów naprzemianległych. Na podstawie cechy: kąt, kąt, kąt, stwierdzamy, że trójkąty $ABD, BCE, ECD$ są podobne. 3. Z podobieństwa tych trójkątów wynika, że: $\frac{|AB|}{|AD|} = \frac{|EC|}{|EB|} = \frac{|DE|}{|EC|}$ zatem $\operatorname{tg} \alpha = \frac{|AB|}{|AD|} = \frac{|EC|}{|EB|} = \frac{|DE|}{|EC|} = 2$ Wprowadzimy oznaczenie: $|EC| = x$. Długości boków $EB$ i $ED$ wyrazimy poprzez $x$. Z równań zapisanych powyżej otrzymujemy: ponieważ $|AD| = 2$ to $|AB| = 4$ ponieważ $|EC| = x$ to $|EB| = \frac{x}{2}$ ponieważ $|EC| = x$ to $|ED| = 2x$ 4. Zastosujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta $ECD$ (można zastosować alternatywnie dla trójkąta $BCE$): $x^2 + (2x)^2 = 4^2$ więc $x^2 + 4x^2 = 16$ stąd $5x^2 = 16$ Zatem $x = |EC| = \frac{4\sqrt{5}}{5}$