Analiza matematyczna · Poradnik

Pochodna funkcji złożonej — reguła łańcuchowa

Gdy funkcja jest włożona w inną funkcję, różniczkujemy warstwa po warstwie. Poniższe przykłady pokazują, którą część zostawić bez zmian i gdzie pojawia się dodatkowy czynnik.

1. Zewnętrzna × wewnętrzna — schemat

Dwie warstwy funkcji

W y=f(g(x))y=f(g(x)) funkcja g działa jako pierwsza, a f jako druga. Różniczkujemy zewnętrzną funkcję f, pozostawiając jej argument g(x), po czym mnożymy przez g′(x).

(f(g(x)))′=f′(g(x))g′(x)\big(f(g(x))\big)'=f'(g(x))\,g'(x)

2. Przykład: pochodna potęgi z nawiasem

Funkcja

h(x)=(2x2+1)3h(x)=(2x^2+1)^3

Zidentyfikuj wnętrze

g(x)=2x2+1,g′(x)=4xg(x)=2x^2+1,\qquad g'(x)=4x

Zewnętrzna operacja to podniesienie do trzeciej potęgi.

Pochodna zewnętrzna razy pochodna wnętrza

h′(x)=3(2x2+1)2⋅4xh'(x)=3(2x^2+1)^2\cdot4x

Po uproszczeniu

h′(x)=12x(2x2+1)2h'(x)=12x(2x^2+1)^2

3. Przykład: sinus funkcji złożonej

Funkcja

h(x)=sin(x3)h(x)=\sin(x^3)

Co jest na zewnątrz?

Na zewnątrz jest sinus, a wewnątrz x3x^3. Pochodna sinusa to cosinus; jego argument pozostaje bez zmian w pierwszym kroku.

Reguła łańcuchowa

h′(x)=cos(x3)⋅(x3)′h'(x)=\cos(x^3)\cdot (x^3)'

Odpowiedź

h′(x)=3x2cos(x3)h'(x)=3x^2\cos(x^3)

Materiał wideo uzupełniający rozwiązania i wzory przedstawione powyżej.

Typowy błąd

Wynik cos(x3)\cos(x^3) nie jest kompletny — zabrakło pomnożenia przez pochodną wnętrza.

4. Sprawdź się

01

Oblicz pochodną funkcji potęgowej złożonej.

Dane do zadania

f(x)=(3x−2)5f(x)=(3x-2)^5
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Obie warstwy

f′(x)=5(3x−2)4⋅3f'(x)=5(3x-2)^4\cdot3

Wynik

f′(x)=15(3x−2)4f'(x)=15(3x-2)^4
02

Oblicz pochodną funkcji wykładniczej.

Dane do zadania

f(x)=e5xf(x)=e^{5x}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Pochodna argumentu wykładnika

(5x)′=5(5x)'=5

Wynik

f′(x)=5e5xf'(x)=5e^{5x}
03

Zróżniczkuj funkcję złożoną z trzech warstw.

Dane do zadania

f(x)=sin⁡((x2+1)3)f(x)=\sin\left((x^2+1)^3\right)
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Jak rozwiązać?

Warstwy to sinus, potęga trzecia i x²+1. Pochodna to cosinus niezmienionego argumentu, razy 3(x²+1)², razy 2x.

Odpowiedź

f′(x)=6x(x2+1)2cos⁡((x2+1)3)f\prime(x)=6x(x^2+1)^2\cos\left((x^2+1)^3\right)
04

Policz pochodną pierwiastka z funkcji kwadratowej.

Dane do zadania

f(x)=1+3x2f(x)=\sqrt{1+3x^2}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Jak rozwiązać?

Zapisz pierwiastek jako potęgę 1/2. Pochodna wnętrza wynosi 6x; po skróceniu otrzymujesz 3x przez pierwiastek. Funkcja jest określona dla każdego x rzeczywistego.

Odpowiedź

f′(x)=3x1+3x2f\prime(x)=\frac{3x}{\sqrt{1+3x^2}}
05

Pamiętaj o dziedzinie przy różniczkowaniu logarytmu.

Dane do zadania

f(x)=ln⁡((2x−1)2)f(x)=\ln\left((2x-1)^2\right)
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Jak rozwiązać?

Argument logarytmu jest dodatni dla x≠1/2. Stosujemy pochodną ln(u): u′/u, gdzie u=(2x−1)²; następnie skracamy czynnik 2x−1.

Odpowiedź

f′(x)=42x−1,x≠12f\prime(x)=\frac4{2x-1},\qquad x\ne\frac12

Przeczytaj także

Chcesz przećwiczyć cały dział?

Przejdź od pojedynczych przykładów do uporządkowanej nauki z rozwiązaniami zadań i wyjaśnieniami krok po kroku.

Poznaj kurs Granice i Pochodne

Możesz też wrócić do pełnej oferty kursów Calcula.