Analiza matematyczna · Poradnik

Pochodne — 50 zadań z rozwiązaniami krok po kroku

50 zadań z pochodnych: od prostych wielomianów, przez pierwiastki i funkcje trygonometryczne, po logarytmy, iloczyny, ilorazy, styczne i ekstrema. Każde zadanie ma treść widoczną od razu oraz rozwiązanie ukryte do samodzielnej próby.

Jak wybrać wzór na pochodną?

Zamiast zgadywać, przejdź przez schemat. Te same kolory zachowujemy w rozwiązaniach:

DANE
STRUKTURA
METODA
WYNIK
BŁĄD
1. Przyjrzyj się funkcji

Ustal, czy masz wielomian, złożenie, iloczyn, iloraz lub zadanie o pochodnej w punkcie.

2. Rozpoznaj strukturę

W nawiasach występujących w potęgach szukaj funkcji wewnętrznej. W iloczynie rozdziel czynniki.

3. Wybierz regułę

Potęga, łańcuchowa, iloczyn lub iloraz. Licz pochodne części zgodnie ze wzorem.

4. Sprawdź wynik

Uprość wyrażenie, uwzględnij dziedzinę, a w zadaniach o ekstremach sprawdź znak pochodnej.

Zadania 1–6: sześć rozwiązań krok po kroku

Najpierw spróbuj policzyć samodzielnie. W tych sześciu przykładach zachowaliśmy pełne, rozbudowane rozwiązania. Kolejne 44 zadania znajdziesz poniżej, podzielone tematycznie.

01

Oblicz pochodną wielomianu.

Dane do zadania

f(x)=3x4−2x2+5x−7f(x)=3x^4-2x^2+5x-7
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Reguła potęgowa

Różniczkujemy osobno każdy składnik, a pochodna stałej wynosi zero.

(xn)′=nxn−1(x^n)'=nx^{n-1}
Pochodna
f′(x)=12x3−4x+5f'(x)=12x^3-4x+5
02

Oblicz pochodną funkcji złożonej.

Dane do zadania

f(x)=(2x2+1)3f(x)=(2x^2+1)^3
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Zewnętrzna i wewnętrzna

Funkcja zewnętrzna to sześcian, a wewnętrzna to g(x)=2x2+1g(x)=2x^2+1.

Reguła łańcuchowa
f′(x)=3(2x2+1)2⋅4xf'(x)=3(2x^2+1)^2\cdot4x

Różniczkujemy potęgę, pozostawiając jej wnętrze, i mnożymy przez pochodną wnętrza.

Po uproszczeniu
f′(x)=12x(2x2+1)2f'(x)=12x(2x^2+1)^2
03

Oblicz pochodną iloczynu.

Dane do zadania

f(x)=x2sinxf(x)=x^2\sin x
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Dwa czynniki

Wybieramy u(x)=x2u(x)=x^2 i v(x)=sinxv(x)=\sin x.

Reguła iloczynu
(uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv'

Stosujemy u′(x)=2xu'(x)=2x oraz v′(x)=cosxv'(x)=\cos x.

Pochodna
f′(x)=2xsinx+x2cosxf'(x)=2x\sin x+x^2\cos x
04

Oblicz pochodną ilorazu. Podaj dziedzinę funkcji.

Dane do zadania

f(x)=x2+1x−1f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Dziedzina

Mianownik nie może być zerem, zatem x≠1x\ne1.

Reguła ilorazu
(uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}
f′(x)=2x(x−1)−(x2+1)(x−1)2f'(x)=\frac{2x(x-1)-(x^2+1)}{(x-1)^2}
Po redukcji wyrazów podobnych
f′(x)=x2−2x−1(x−1)2f'(x)=\frac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}
05

Oblicz wartość pochodnej w punkcie x = 2.

Dane do zadania

f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Najpierw pochodna, potem podstawienie
f′(x)=3x2−3f'(x)=3x^2-3

Dopiero do otrzymanej pochodnej podstawiamy 2.

Wartość pochodnej
f′(2)=3⋅22−3=9f'(2)=3\cdot2^2-3=9

Styczna do wykresu w punkcie o odciętej 2 ma nachylenie 9.

06

Wyznacz ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności.

Dane do zadania

f(x)=x3−3x2f(x)=x^3-3x^2
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Wyznacz miejsca zerowe pochodnej
f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)

Stąd punkty krytyczne: x = 0 i x = 2.

Zbadaj znaki pochodnej
+
rośnie
x = 0
maksimum
−
maleje
x = 2
minimum
+
rośnie

Znaki pochodnej na przedziałach: (−∞, 0), (0, 2), (2, +∞). Kolory są uzupełnieniem znaków +/− i opisów.

Monotoniczność i ekstrema

Funkcja rośnie na (−∞, 0) i (2, +∞), maleje na (0, 2). Ma maksimum lokalne w punkcie (0, 0) i minimum lokalne w punkcie (2, −4).

f(0)=0,f(2)=−4f(0)=0,\qquad f(2)=-4

Zadania 7–14: wielomiany i upraszczanie

Osiem przykładów na różniczkowanie wielomianów, także zapisanych jako iloczyny. Zadania są ponumerowane zgodnie z całym zestawem.

07

Wielomian trzeciego stopnia

Dane do zadania

f(x)=5x3−7x2+4f(x)=5 x^{3} - 7 x^{2} + 4
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Korzystamy z reguły potęgowej dla każdego składnika.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Pochodna 5x³ to 15x², pochodna −7x² to −14x, a stała 4 znika.

Odpowiedź
f′(x)=15x2−14xf'(x)=15x^2-14x
08

Wielomian piątego stopnia

Dane do zadania

f(x)=−2x5+3x−9f(x)=- 2 x^{5} + 3 x - 9
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Zróżniczkujemy składniki −2x⁵, 3x i −9.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Dla wyrazu −2x⁵ mnożymy współczynnik przez wykładnik 5.

Odpowiedź
f′(x)=3−10x4f'(x)=3 - 10 x^{4}
09

Wielomian z ułamkowym współczynnikiem

Dane do zadania

f(x)=x42−4x2f(x)=\frac{x^{4}}{2} - 4 x^{2}
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Współczynnik 1/2 pozostaje przed pochodną x⁴.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Liczymy (1/2)·4x³ oraz −4·2x; potem upraszczamy.

Odpowiedź
f′(x)=2x(x2−4)f'(x)=2 x \left(x^{2} - 4\right)
10

Trzy różne potęgi

Dane do zadania

f(x)=7x6−3x4+xf(x)=7 x^{6} - 3 x^{4} + x
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Pochodna sumy jest sumą pochodnych.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Wykładniki 6 i 4 obniżają się o 1, a pochodna x wynosi 1.

Odpowiedź
f′(x)=42x5−12x3+1f'(x)=42 x^{5} - 12 x^{3} + 1
11

Wielomian siódmego stopnia

Dane do zadania

f(x)=4x7−5x2+1f(x)=4 x^{7} - 5 x^{2} + 1
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Różniczkujemy 4x⁷ i −5x² niezależnie.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Obliczamy 4·7x⁶ oraz −5·2x; pochodna 1 jest równa 0.

Odpowiedź
f′(x)=28x6−10xf'(x)=28 x^{6} - 10 x
12

Najpierw uprość iloczyn nawiasów

Dane do zadania

f(x)=(x−2)(x+3)f(x)=\left(x - 2\right) \left(x + 3\right)
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Możemy zastosować regułę iloczynu albo wymnożyć nawiasy.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Po wymnożeniu dostajemy x²+x−6. Pochodna tej postaci to 2x+1.

Odpowiedź
f′(x)=2x+1f'(x)=2 x + 1
13

Wielomian zapisany jako iloczyn

Dane do zadania

f(x)=x(x2−5x+6)f(x)=x \left(x^{2} - 5 x + 6\right)
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Najpierw rozprowadzamy x po nawiasie.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Otrzymujemy x³−5x²+6x, a następnie różniczkujemy trzy składniki.

Odpowiedź
f′(x)=3x2−10x+6f'(x)=3 x^{2} - 10 x + 6
14

Różnica kwadratów jako szybka metoda

Dane do zadania

f(x)=(x2−1)(x2+1)f(x)=\left(x^{2} - 1\right) \left(x^{2} + 1\right)
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Rozpoznajemy wzór (a+b)(a−b)=a²−b².

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Wyrażenie upraszcza się do x⁴−1; jego pochodna to 4x³.

Odpowiedź
f′(x)=4x3f'(x)=4 x^{3}

Zadania 15–20: potęgi i pierwiastki

Uważaj na ujemne i ułamkowe wykładniki oraz dziedziny funkcji. Zadania są ponumerowane zgodnie z całym zestawem.

15

Pierwiastek kwadratowy

Dane do zadania

f(x)=xf(x)=\sqrt{x}
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Zapisujemy pierwiastek jako x do potęgi 1/2.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Reguła potęgowa daje (1/2)x^(−1/2).

Odpowiedź
f′(x)=12xf'(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x}}

Pochodna istnieje dla x > 0.

16

Odwrotność trzeciej potęgi

Dane do zadania

f(x)=1x3f(x)=\frac{1}{x^{3}}
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Zamieniamy 1/x³ na x^(−3).

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Po obniżeniu wykładnika o 1 otrzymujemy −3x^(−4).

Odpowiedź
f′(x)=−3x4f'(x)=- \frac{3}{x^{4}}

Dziedzina: x ≠ 0.

17

Potęga o wykładniku 3/2

Dane do zadania

f(x)=x32f(x)=x^{\frac{3}{2}}
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Zastosuj regułę (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Po odjęciu 1 od wykładnika 3/2 zostaje 1/2.

Odpowiedź
f′(x)=3x2f'(x)=\frac{3 \sqrt{x}}{2}

Wzór obowiązuje dla x > 0. W punkcie x = 0 pochodna dwustronna nie jest określona.

18

Pierwiastek sześcienny

Dane do zadania

f(x)=x3f(x)=\sqrt[3]{x}
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Dla x ≠ 0 zapisujemy pierwiastek jako x^(1/3).

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Po zastosowaniu reguły potęgowej pojawia się 1/(3x^(2/3)).

Odpowiedź
f′(x)=13x23f'(x)=\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}

Dla x ≠ 0; w punkcie x = 0 pochodna nie jest skończona.

19

Odwrotność pierwiastka

Dane do zadania

f(x)=1xf(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Zapisujemy 1/√x jako x^(−1/2).

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Współczynnik to −1/2, a nowy wykładnik wynosi −3/2.

Odpowiedź
f′(x)=−12x32f'(x)=- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}

Dziedzina: x > 0.

20

Pierwiastek z funkcji kwadratowej

Dane do zadania

f(x)=x2+4f(x)=\sqrt{x^{2} + 4}
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

To złożenie: funkcja zewnętrzna to pierwiastek, wewnętrzna to x²+4.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Mnożymy pochodną pierwiastka przez 2x, czyli pochodną wnętrza.

Odpowiedź
f′(x)=xx2+4f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}

Dziedzina i zbiór punktów różniczkowalności: wszystkie liczby rzeczywiste.

Zadania 21–26: funkcje trygonometryczne

Ćwicz pochodne sinusa, cosinusa i tangensa oraz ich proste złożenia. Zadania są ponumerowane zgodnie z całym zestawem.

21

Sinus argumentu 3x

Dane do zadania

f(x)=sin⁡(3x)f(x)=\sin{\left(3 x \right)}
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Stosujemy regułę łańcuchową.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Pochodna sinusu to cosinus; pochodna argumentu 3x wynosi 3.

Odpowiedź
f′(x)=3cos⁡(3x)f'(x)=3 \cos{\left(3 x \right)}
22

Cosinus argumentu 2x

Dane do zadania

f(x)=cos⁡(2x)f(x)=\cos{\left(2 x \right)}
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Pochodna cos u to −sin u razy u′.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Zapisujemy minus i dodatkowo mnożymy przez pochodną 2x, czyli 2.

Odpowiedź
f′(x)=−2sin⁡(2x)f'(x)=- 2 \sin{\left(2 x \right)}
23

Tangens

Dane do zadania

f(x)=tan⁡(x)f(x)=\tan{\left(x \right)}
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Korzystamy z pochodnej tangensa.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Zapisujemy 1/cos²x, pamiętając o miejscach zerowych cosinusa.

Odpowiedź
f′(x)=1cos2⁡(x)f'(x)=\frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

Dziedzina: cos x ≠ 0.

24

Iloczyn x oraz sinusa

Dane do zadania

f(x)=xsin⁡(x)f(x)=x \sin{\left(x \right)}
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Ustal u=x i v=sin x; użyj (uv)′=u′v+uv′.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Pochodne czynników to 1 i cos x, stąd suma sin x + x cos x.

Odpowiedź
f′(x)=xcos⁡(x)+sin⁡(x)f'(x)=x \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}
25

Kwadrat sinusa

Dane do zadania

f(x)=sin2⁡(x)f(x)=\sin^{2}{\left(x \right)}
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Funkcja zewnętrzna to kwadrat, wewnętrzna sin x.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Najpierw 2 sin x, potem mnożymy przez cos x.

Odpowiedź
f′(x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)f'(x)=2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}
26

Suma sinusa i cosinusa

Dane do zadania

f(x)=sin⁡(x)+2cos⁡(x)f(x)=\sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Różniczkujemy każdy składnik oddzielnie.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Pochodna sin x to cos x, a pochodna 2cos x to −2sin x.

Odpowiedź
f′(x)=−2sin⁡(x)+cos⁡(x)f'(x)=- 2 \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}

Zadania 27–32: funkcje wykładnicze i logarytmy

Sprawdź, kiedy pojawia się ln a, a kiedy trzeba zastosować regułę łańcuchową. Zadania są ponumerowane zgodnie z całym zestawem.

27

Eksponenta e do potęgi 2x

Dane do zadania

f(x)=e2xf(x)=e^{2 x}
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Pochodna e^u to e^u·u′.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Wewnętrzny argument 2x ma pochodną 2.

Odpowiedź
f′(x)=2e2xf'(x)=2 e^{2 x}
28

Funkcja wykładnicza o podstawie 3

Dane do zadania

f(x)=3xf(x)=3^{x}
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Dla a > 0 pochodna a^x to a^x·ln a.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Wstawiamy a=3. Logarytm naturalny z 3 to stały współczynnik.

Odpowiedź
f′(x)=3xln⁡(3)f'(x)=3^{x} \ln{\left(3 \right)}
29

Logarytm naturalny

Dane do zadania

f(x)=ln⁡(x)f(x)=\ln{\left(x \right)}
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Korzystamy z pochodnej ln x.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Jej wartość wynosi 1/x na całej dziedzinie funkcji.

Odpowiedź
f′(x)=1xf'(x)=\frac{1}{x}

Dziedzina: x > 0.

30

Logarytm z wyrażenia liniowego

Dane do zadania

f(x)=ln⁡(5x+1)f(x)=\ln{\left(5 x + 1 \right)}
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Stosujemy regułę (ln u)′=u′/u.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Pochodna argumentu 5x+1 to 5.

Odpowiedź
f′(x)=55x+1f'(x)=\frac{5}{5 x + 1}

Dziedzina: x > −1/5.

31

Iloczyn x i e^x

Dane do zadania

f(x)=xexf(x)=x e^{x}
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Wybieramy u=x, v=e^x.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Z reguły iloczynu: 1·e^x + x·e^x; wyłączamy e^x.

Odpowiedź
f′(x)=(x+1)exf'(x)=\left(x + 1\right) e^{x}
32

Logarytm o podstawie 2

Dane do zadania

f(x)=ln⁡(x)ln⁡(2)f(x)=\frac{\ln{\left(x \right)}}{\ln{\left(2 \right)}}
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Najpierw zmieniamy podstawę: log₂x=ln x/ln 2.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Stała 1/ln 2 zostaje przed pochodną ln x.

Odpowiedź
f′(x)=1xln⁡(2)f'(x)=\frac{1}{x \ln{\left(2 \right)}}

Dziedzina: x > 0.

Zadania 33–38: reguła łańcuchowa

W każdym przykładzie rozpoznaj funkcję zewnętrzną i wewnętrzną. Zadania są ponumerowane zgodnie z całym zestawem.

33

Czwarta potęga trójmianu

Dane do zadania

f(x)=(x2−3x)4f(x)=\left(x^{2} - 3 x\right)^{4}
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Oddzielamy zewnętrzną potęgę 4 od wnętrza x²−3x.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Mnożymy 4(x²−3x)³ przez 2x−3.

Odpowiedź
f′(x)=4(2x−3)(x2−3x)3f'(x)=4 \left(2 x - 3\right) \left(x^{2} - 3 x\right)^{3}
34

Ujemna potęga wyrażenia liniowego

Dane do zadania

f(x)=1(4x+1)2f(x)=\frac{1}{\left(4 x + 1\right)^{2}}
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Zastosuj regułę potęgową i łańcuchową.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Pochodna zewnętrzna daje −2(4x+1)^(−3), a pochodna wnętrza wynosi 4.

Odpowiedź
f′(x)=−8(4x+1)3f'(x)=- \frac{8}{\left(4 x + 1\right)^{3}}

Dziedzina: x ≠ −1/4.

35

Pierwiastek z trójmianu

Dane do zadania

f(x)=3x2+1f(x)=\sqrt{3 x^{2} + 1}
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Wykorzystujemy pochodną pierwiastka z u.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Pochodną u=3x²+1 jest 6x; skracamy 6x/2 do 3x.

Odpowiedź
f′(x)=3x3x2+1f'(x)=\frac{3 x}{\sqrt{3 x^{2} + 1}}
36

Trzecia potęga sinusa

Dane do zadania

f(x)=sin3⁡(x)f(x)=\sin^{3}{\left(x \right)}
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Różniczkujemy zewnętrzny sześcian i wewnętrzny sinus.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Otrzymujemy 3sin²x, po czym mnożymy przez cos x.

Odpowiedź
f′(x)=3sin2⁡(x)cos⁡(x)f'(x)=3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}
37

Eksponenta z funkcji kwadratowej

Dane do zadania

f(x)=ex2+1f(x)=e^{x^{2} + 1}
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Pochodna e^u zachowuje e^u i dodaje mnożnik u′.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Tutaj u′=2x, więc przed eksponentą stoi 2x.

Odpowiedź
f′(x)=2xex2+1f'(x)=2 x e^{x^{2} + 1}
38

Logarytm z x² + 1

Dane do zadania

f(x)=ln⁡(x2+1)f(x)=\ln{\left(x^{2} + 1 \right)}
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Różniczkujemy ln u jako u′/u.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Pochodna wnętrza to 2x, mianownik pozostaje x²+1.

Odpowiedź
f′(x)=2xx2+1f'(x)=\frac{2 x}{x^{2} + 1}

Dziedzina: wszystkie liczby rzeczywiste.

Zadania 39–44: iloczyn i iloraz

Porównaj dwa wzory i zwróć szczególną uwagę na znaki i dziedzinę. Zadania są ponumerowane zgodnie z całym zestawem.

39

Iloczyn dwóch wielomianów

Dane do zadania

f(x)=(x2+1)(x3−2)f(x)=\left(x^{2} + 1\right) \left(x^{3} - 2\right)
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Weź u=x²+1 oraz v=x³−2.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Podstawiamy u′=2x, v′=3x² do wzoru u′v+uv′.

Odpowiedź
f′(x)=3x2(x2+1)+2x(x3−2)f'(x)=3 x^{2} \left(x^{2} + 1\right) + 2 x \left(x^{3} - 2\right)
40

Iloczyn x² i e^x

Dane do zadania

f(x)=x2exf(x)=x^{2} e^{x}
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

W regule iloczynu różniczkujemy każdy czynnik po kolei.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Otrzymujemy 2xe^x+x²e^x, czyli e^x(x²+2x).

Odpowiedź
f′(x)=(x2+2x)exf'(x)=\left(x^{2} + 2 x\right) e^{x}
41

Iloczyn x i cosinusa

Dane do zadania

f(x)=xcos⁡(x)f(x)=x \cos{\left(x \right)}
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Używamy wzoru (uv)′=u′v+uv′.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Ponieważ (cos x)′=−sin x, drugi składnik jest ujemny.

Odpowiedź
f′(x)=−xsin⁡(x)+cos⁡(x)f'(x)=- x \sin{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}
42

Iloraz dwóch funkcji liniowych

Dane do zadania

f(x)=x+1x+2f(x)=\frac{x + 1}{x + 2}
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Wzór na iloraz ma licznik u′v−uv′.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Licznik upraszcza się do (x+2)−(x+1)=1.

Odpowiedź
f′(x)=1(x+2)2f'(x)=\frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}

Dziedzina: x ≠ −2.

43

Iloraz liniowej i kwadratowej

Dane do zadania

f(x)=2x−1x2+1f(x)=\frac{2 x - 1}{x^{2} + 1}
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Licznik u=2x−1, mianownik v=x²+1.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Podstawiamy u′=2 oraz v′=2x, następnie rozwijamy 2(x²+1)−(2x−1)2x.

Odpowiedź
f′(x)=−2x2+2x+2(x2+1)2f'(x)=\frac{- 2 x^{2} + 2 x + 2}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}

Dziedzina: wszystkie liczby rzeczywiste.

44

Logarytm podzielony przez x

Dane do zadania

f(x)=ln⁡(x)xf(x)=\frac{\ln{\left(x \right)}}{x}
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Różniczkujemy iloraz ln x / x.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

W liczniku mamy (1/x)·x−ln x·1=1−ln x.

Odpowiedź
f′(x)=1−ln⁡(x)x2f'(x)=\frac{1 - \ln{\left(x \right)}}{x^{2}}

Dziedzina: x > 0.

Zadania 45–50: zastosowania pochodnej

Na koniec wykorzystaj pochodną do wyznaczania stycznych, ekstremów i prędkości chwilowej. Zadania są ponumerowane zgodnie z całym zestawem.

45

Wartość pochodnej w punkcie x = 1

Dane do zadania

f(x)=2x3−x2,x0=1f(x)=2x^3-x^2,\quad x_0=1
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Najpierw obliczamy pochodną funkcji, dopiero potem podstawiamy argument 1.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Pochodna ma postać 6x²−2x, więc po podstawieniu x=1 dostajemy 6−2.

Odpowiedź
f′(1)=4f'(1)=4

Współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie x=1 wynosi 4.

46

Równanie stycznej w punkcie x = 1

Dane do zadania

f(x)=x2+2x,x0=1f(x)=x^2+2x,\quad x_0=1
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Obliczamy f(1)=3 oraz f′(1)=4. Styczna przechodzi przez punkt (1, 3).

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Podstawiamy do równania y−3=4(x−1), a następnie je upraszczamy.

Odpowiedź
y=4x−1y=4x-1

Sprawdzenie: dla x=1 styczna ma wartość 3.

47

Monotoniczność paraboli

Dane do zadania

f(x)=x2−6x+5f(x)=x^2-6x+5
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Liczymy f′(x)=2x−6 i rozwiązujemy równanie f′(x)=0.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Dla x<3 pochodna jest ujemna, a dla x>3 dodatnia.

Odpowiedź
xmin=3,f(3)=−4x_{\min}=3,\quad f(3)=-4

Funkcja maleje na (−∞, 3) i rośnie na (3, +∞).

48

Dwa ekstrema funkcji sześciennej

Dane do zadania

f(x)=x3−12xf(x)=x^3-12x
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Pochodna to 3x²−12=3(x−2)(x+2). Miejsca zerowe: −2 oraz 2.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Znaki pochodnej to kolejno +, −, +. W punkcie −2 jest maksimum, a w 2 minimum.

Odpowiedź
f(−2)=16,f(2)=−16f(-2)=16,\quad f(2)=-16

Maksimum lokalne: (−2, 16). Minimum lokalne: (2, −16).

49

Maksimum funkcji kwadratowej

Dane do zadania

f(x)=−x2+4x+1f(x)=-x^2+4x+1
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Szukamy punktu, w którym pochodna −2x+4 znika.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny przy x=2; to maksimum.

Odpowiedź
xmax=2,f(2)=5x_{\max}=2,\quad f(2)=5

Maksymalna wartość funkcji wynosi 5.

50

Prędkość chwilowa z funkcji drogi

Dane do zadania

s(t)=t2+3t,t=4s(t)=t^2+3t,\quad t=4
Pokaż rozwiązanie i odpowiedź
Krok 1. Wybierz metodę

Droga jest mierzona w metrach, czas w sekundach. Prędkość chwilowa to pochodna drogi po czasie.

Krok 2. Wykonaj obliczenia

Mamy s′(t)=2t+3, a po podstawieniu t=4 otrzymujemy 11.

Odpowiedź
v(4)=11 m/sv(4)=11\ \mathrm{m/s}

Wynik podaje prędkość chwilową, a nie średnią z przedziału.

Najczęstsze błędy w zadaniach z pochodnych

Pominięcie pochodnej wnętrza

W regule łańcuchowej nie kończ na różniczkowaniu potęgi. Dopisz pochodną wyrażenia w nawiasie.

Mnożenie samych pochodnych

Pochodna iloczynu to suma dwóch składników, a nie iloczyn pochodnych obu czynników.

Zły znak w ilorazie

W liczniku wzoru na pochodną ilorazu występuje odejmowanie. W mianowniku zostaje kwadrat pierwotnego mianownika.

Ekstremum bez sprawdzenia znaku

Warunek f′(x) = 0 nie wystarcza do stwierdzenia ekstremum. Trzeba jeszcze zbadać zachowanie funkcji lub pochodnej.

Jak dalej ćwiczyć pochodne?

Jeżeli najtrudniejsze były nawiasy i potęgi, zacznij od reguły łańcuchowej. Przy wyrażeniach z mnożeniem lub dzieleniem zobacz regułę iloczynu i ilorazu. Jeżeli gubisz się przy maksimum i minimum, przejdź do badania monotoniczności i ekstremów.

Przeczytaj także

Chcesz przećwiczyć cały dział?

Przejdź od pojedynczych przykładów do uporządkowanej nauki z rozwiązaniami zadań i wyjaśnieniami krok po kroku.

Poznaj kurs Granice i Pochodne

Możesz też wrócić do pełnej oferty kursów Calcula.