Analiza matematyczna · Poradnik

Jak obliczyć granicę funkcji? Metody krok po kroku

Granica opisuje zachowanie wartości funkcji, gdy argument zbliża się do wybranego punktu lub nieskończoności. Nie zawsze jest równa wartości funkcji w samym punkcie.

Kiedy można obliczyć granicę przez podstawienie?

Jeśli funkcja jest ciągła w punkcie, do którego dąży argument, granica jest równa jej wartości w tym punkcie.

limx→2(x2+3)=22+3=7\lim_{x\to2}(x^2+3)=2^2+3=7

Podstawianie jest więc dobrym pierwszym testem, ale nie działa bezpośrednio przy postaciach nieoznaczonych ani w miejscach, gdzie funkcja nie jest ciągła.

Co zrobić, gdy wychodzi 0/0? Rozkład na czynniki

Symbol 00\frac00 nie jest wartością granicy — informuje, że bezpośrednie podstawienie nie rozstrzyga zadania. Jedna z metod polega na rozłożeniu licznika i skróceniu czynnika różnego od zera w punktach sąsiednich.

Granica ilorazu wielomianów

limx→1x2−1x−1\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}

Rozkładamy różnicę kwadratów: x2−1=(x−1)(x+1)x^2-1=(x-1)(x+1). Dla x≠1x\ne1 możemy skrócić wspólny czynnik:

limx→1(x−1)(x+1)x−1=limx→1(x+1)=2\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2

Granica z pierwiastkiem — usuwanie niewymierności

Przy różnicy pierwiastków spróbuj pomnożyć licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone. Dzięki temu wykorzystasz wzór na różnicę kwadratów.

Przykład z pierwiastkiem

limx→0x+4−2x\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}
x+4−2x⋅x+4+2x+4+2=1x+4+2\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}\cdot\frac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2}=\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}
limx→01x+4+2=14\lim_{x\to0}\frac1{\sqrt{x+4}+2}=\frac14

Kluczowe jest wykonanie skrócenia dla x≠0x\ne0, a dopiero potem przejście do granicy.

Granice w nieskończoności — najwyższa potęga

Gdy w liczniku i mianowniku są wielomiany, porównaj ich najwyższe potęgi. Przy równych stopniach granica ilorazu dla x→+∞x\to+\infty jest ilorazem współczynników wiodących, o ile współczynnik mianownika jest niezerowy.

limx→+∞3x2+12x2−x=limx→+∞3+1x22−1x=32\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2+1}{2x^2-x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{3+\frac1{x^2}}{2-\frac1x}=\frac32

Jeśli stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika, granica ilorazu zwykle wynosi 0. Jeśli jest większy, o znaku i rodzaju rozbieżności decydują wiodące wyrazy i kierunek przejścia do nieskończoności.

Dlaczego trzeba badać granice jednostronne?

Gdy mianownik dąży do zera, wynik zależy od znaków po obu stronach badanego punktu. Nie wystarczy powiedzieć, że granica „wynosi nieskończoność”.

limx→0−1x=−∞,limx→0+1x=+∞\lim_{x\to0^-}\frac1x=-\infty,\qquad\lim_{x\to0^+}\frac1x=+\infty

Granice jednostronne są różne, więc zwykła granica dwustronna limx→01x\lim_{x\to0}\frac1x nie istnieje. Dla funkcji 1x2\frac1{x^2} obie strony dążą do +∞+\infty; oznacza to rozbieżność do plus nieskończoności, a nie skończoną granicę.

Granice funkcji — zadania z odpowiedziami

01

Oblicz granicę funkcji.

Dane do zadania

limx→3x2−9x−3\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Rozłóż licznik na iloczyn (x−3)(x+3)(x-3)(x+3) i skróć wspólny czynnik dla x≠3x\neq3.

limx→3x2−9x−3=limx→3(x+3)=6\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim_{x\to3}(x+3)=6
02

Oblicz granicę funkcji przy x dążącym do plus nieskończoności.

Dane do zadania

limx→+∞5x2+2x2+1\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^2+2}{x^2+1}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę argumentu, czyli x2x^2.

limx→+∞5x2+2x2+1=5\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^2+2}{x^2+1}=5
03

Sprawdź, czy istnieje granica dwustronna.

Dane do zadania

limx→01x\lim_{x\to0}\frac1x
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Nie istnieje. Granice jednostronne mają przeciwne znaki nieskończoności.

limx→0−1x=−∞,limx→0+1x=+∞\lim_{x\to0^-}\frac1x=-\infty,\qquad\lim_{x\to0^+}\frac1x=+\infty

Przeczytaj także

Chcesz przećwiczyć cały dział?

Przejdź od pojedynczych przykładów do uporządkowanej nauki z rozwiązaniami zadań i wyjaśnieniami krok po kroku.

Zobacz kurs Granice i Pochodne

Możesz też wrócić do pełnej oferty kursów Calcula.