Analiza matematyczna · Poradnik

Granice funkcji — 50 zadań z rozwiązaniami krok po kroku

50 zadań z granic funkcji, od prostego rozkładu na czynniki po granice jednostronne, trygonometryczne, wykładnicze i regułę de l’Hospitala. Najpierw rozwiąż samodzielnie, a potem rozwiń podpowiedź. Cały zbiór jest też dostępny jako PDF.

1. Jak wybrać metodę liczenia granicy?

Krok 1. Spróbuj podstawienia

Ustal, czy otrzymujesz liczbę, postać 0/0, ∞/∞ czy jednostronne zachowanie nieograniczone.

Krok 2. Rozpoznaj strukturę

Wielomiany? Pierwiastek? Wartość bezwzględna? Potęga z wykładnikiem dążącym do nieskończoności?

Krok 3. Dobierz przekształcenie

Rozkład na czynniki, sprzężenie, dzielenie przez najwyższą potęgę lub rozpatrzenie stron punktu.

Krok 4. Wyznacz i sprawdź wynik

Po uproszczeniu wróć do granicy. Upewnij się, że nie skracasz czynnika poza jego dziedziną.

Zadania 1–6: sześć rozwiązań krok po kroku

01

Rozłóż licznik na czynniki i oblicz granicę.

Dane do zadania

limx→3x2−9x−3\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Różnica kwadratów

x2−9=(x−3)(x+3)x^2-9=(x-3)(x+3)

Skróć w otoczeniu punktu

(x−3)(x+3)x−3=x+3(x≠3)\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\quad(x\ne3)

Granica

limx→3(x+3)=6\lim_{x\to3}(x+3)=6
02

Usuń postać nieoznaczoną przez pomnożenie przez sprzężenie.

Dane do zadania

limx→4x+5−3x−4\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Sprzężenie

x+5+3\sqrt{x+5}+3

Przekształcenie

x+5−3x−4=1x+5+3(x≠4)\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-4}=\frac{1}{\sqrt{x+5}+3}\quad(x\ne4)

Granica

limx→41x+5+3=16\lim_{x\to4}\frac{1}{\sqrt{x+5}+3}=\frac16
03

Oblicz granicę ilorazu wielomianów przy plus nieskończoności.

Dane do zadania

limx→+∞3x2−x+1x2+2\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-x+1}{x^2+2}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Dzielimy przez najwyższą potęgę

3−1x+1x21+2x2\frac{3-\frac1x+\frac1{x^2}}{1+\frac2{x^2}}

Granica

limx→+∞3x2−x+1x2+2=3\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-x+1}{x^2+2}=3
04

Wyznacz granice jednostronne i ustal, czy istnieje granica obustronna.

Dane do zadania

limx→0|x|x\lim_{x\to0}\frac{|x|}{x}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Dwa przypadki

Dla x ujemnych |x| = −x, a dla dodatnich |x| = x.

Granice jednostronne

limx→0−|x|x=−1,limx→0+|x|x=1\lim_{x\to0^-}\frac{|x|}{x}=-1,\qquad\lim_{x\to0^+}\frac{|x|}{x}=1

Wniosek

Granica obustronna nie istnieje, ponieważ wartości granic jednostronnych są różne.

05

Skorzystaj z granicy prowadzącej do liczby e.

Dane do zadania

limx→+∞(1+2x)x\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac2x\right)^x
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Postać 1 do potęgi nieskończoność

Podstawienie sugeruje postać nieoznaczoną; korzystamy z klasycznej granicy wykładniczej.

Zamiana wykładnika

(1+2x)x=[(1+2x)x/2]2\left(1+\frac2x\right)^x=\left[\left(1+\frac2x\right)^{x/2}\right]^2

Granica

limx→+∞(1+2x)x=e2\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac2x\right)^x=e^2
06

Oblicz granicę za pomocą reguły de l’Hospitala (kąt w radianach).

Dane do zadania

limx→0sinxx\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Sprawdź warunki

Otrzymujemy postać 0/0, a licznik i mianownik są różniczkowalne blisko 0; pochodna mianownika wynosi 1.

Iloraz pochodnych

limx→0cosx1\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}

Granica

limx→0sinxx=1\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1

Zadania 7–14: rozkład na czynniki

Najpierw rozpoznaj postać nieoznaczoną 0/0, potem szukaj wspólnego czynnika. Rozwiązania odsłaniasz dopiero po własnej próbie.

07

Różnica kwadratów

Oblicz granicę

limx→2x2−4x−2\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Rozłóż licznik na czynniki.

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Dla x ≠ 2 skróć (x−2): pozostaje x+2. Następnie podstaw x=2.

Odpowiedź

44
08

Trójmian kwadratowy

Oblicz granicę

limx→−1x2+3x+2x+1\lim_{x\to -1}\frac{x^2+3x+2}{x+1}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Rozłóż trójmian na (x+1)(x+2).

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Dla x ≠ −1 skróć x+1; granica x+2 przy x→−1 wynosi 1.

Odpowiedź

11
09

Różnica sześcianów

Oblicz granicę

limx→1x3−1x−1\lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Zastosuj wzór a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²).

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Skrócenie czynnika x−1 daje x²+x+1; po podstawieniu 1 otrzymujemy 3.

Odpowiedź

33
10

Kwadrat sumy

Oblicz granicę

limx→0(x+3)2−9x\lim_{x\to 0}\frac{(x+3)^2-9}{x}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Rozwiń kwadrat sumy i zredukuj wyrazy stałe.

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Licznik to x²+6x=x(x+6). Dla x ≠ 0 zostaje x+6.

Odpowiedź

66
11

Rozkład na dwa czynniki

Oblicz granicę

limx→2x2−5x+6x−2\lim_{x\to 2}\frac{x^2-5x+6}{x-2}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Zapisz licznik jako (x−2)(x−3).

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Po skróceniu wyrażenie ma postać x−3; podstawienie 2 daje −1.

Odpowiedź

−1-1
12

Suma sześcianów

Oblicz granicę

limx→−2x3+8x+2\lim_{x\to -2}\frac{x^3+8}{x+2}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Zastosuj wzór a³+b³=(a+b)(a²−ab+b²).

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Dla x ≠ −2 skracamy x+2; pozostaje x²−2x+4, czyli 4+4+4.

Odpowiedź

1212
13

Potęgi parzyste

Oblicz granicę

limx→1x4−1x2−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-1}{x^2-1}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

W liczniku rozpoznaj różnicę kwadratów.

Krok 2. Przekształć wyrażenie

x⁴−1=(x²−1)(x²+1). Dla x ≠ ±1 zostaje x²+1.

Odpowiedź

22
14

Wyłączanie wspólnego czynnika

Oblicz granicę

limx→0x2+7xx\lim_{x\to 0}\frac{x^2+7x}{x}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Wyłącz x przed nawias w liczniku.

Krok 2. Przekształć wyrażenie

x(x+7)/x=x+7 dla x ≠ 0; w granicy otrzymujemy 7.

Odpowiedź

77

Zadania 15–20: granice z pierwiastkami

Sprzężenie pomaga pozbyć się postaci 0/0 z pierwiastkiem w liczniku lub mianowniku. Rozwiązania odsłaniasz dopiero po własnej próbie.

15

Pierwiastek z x

Oblicz granicę

limx→9x−3x−9\lim_{x\to 9}\frac{\sqrt{x}-3}{x-9}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Pomnóż licznik i mianownik przez sprzężenie √x+3.

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Po zastosowaniu różnicy kwadratów mianownik x−9 skraca się; zostaje 1/(√x+3).

Odpowiedź

16\frac16
16

Pierwiastek z 1 + x

Oblicz granicę

limx→01+x−1x\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Zastosuj sprzężenie √(1+x)+1.

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Po pomnożeniu otrzymujesz x/[x(√(1+x)+1)] i skracasz x.

Odpowiedź

12\frac12
17

Pierwiastek z 4 + x

Oblicz granicę

limx→04+x−2x\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{4+x}-2}{x}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Zastosuj sprzężenie √(4+x)+2.

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Różnica kwadratów w liczniku to x; pozostaje odwrotność √(4+x)+2.

Odpowiedź

14\frac14
18

Pierwiastek w punkcie 3

Oblicz granicę

limx→3x+1−2x−3\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Użyj sprzężenia √(x+1)+2.

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Licznik przekształca się do x−3, co pozwala skrócić mianownik.

Odpowiedź

14\frac14
19

Różnica dwóch pierwiastków

Oblicz granicę

limx→01+2x−1−xx\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt{1-x}}{x}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Pomnóż przez sumę obu pierwiastków.

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Różnica podpierwiastkowych wyrażeń wynosi 3x. Po skróceniu x: 3/[√(1+2x)+√(1−x)].

Odpowiedź

32\frac32
20

Pierwiastek w mianowniku

Oblicz granicę

limx→0x4+x−2\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sqrt{4+x}-2}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Pomnóż przez sprzężenie mianownika.

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Po usunięciu niewymierności dostajemy √(4+x)+2, więc granica to 4.

Odpowiedź

44

Zadania 21–26: granice w nieskończoności

Zwracaj uwagę na najwyższe potęgi i znak wartości przy minus nieskończoności. Rozwiązania odsłaniasz dopiero po własnej próbie.

21

Równe stopnie wielomianów

Oblicz granicę

limx→+∞5x2+12x2−3\lim_{x\to +\infty}\frac{5x^2+1}{2x^2-3}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Podziel licznik i mianownik przez x².

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Składniki 1/x² i 3/x² dążą do 0; zostaje 5/2.

Odpowiedź

52\frac52
22

Wielomiany stopnia trzeciego

Oblicz granicę

limx→+∞3x3−xx3+4\lim_{x\to +\infty}\frac{3x^3-x}{x^3+4}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Podziel obie części ułamka przez x³.

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Po przejściu do granicy wyrazy z 1/x² i 1/x³ znikają.

Odpowiedź

33
23

Wyższy stopień mianownika

Oblicz granicę

limx→+∞x2+3x3+2\lim_{x\to +\infty}\frac{x^2+3}{x^3+2}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

W mianowniku dominuje x³, a w liczniku x².

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Po podzieleniu przez x³ licznik dąży do 0, mianownik do 1.

Odpowiedź

00
24

Wyższy stopień licznika

Oblicz granicę

limx→+∞2x3−xx2+1\lim_{x\to +\infty}\frac{2x^3-x}{x^2+1}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Porównaj największe potęgi w liczniku i mianowniku.

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Iloraz zachowuje się jak 2x przy x→+∞ i rośnie bez ograniczeń.

Odpowiedź

+∞+\infty
25

Kierunek przy minus nieskończoności

Oblicz granicę

limx→−∞2x3−xx2+1\lim_{x\to -\infty}\frac{2x^3-x}{x^2+1}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Sprawdź znak dominującego ilorazu 2x³/x².

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Zachowanie jest takie jak 2x, więc przy x→−∞ wynik to −∞.

Odpowiedź

−∞-\infty
26

Niewymierność przy nieskończoności

Oblicz granicę

limx→+∞(x2+3x−x)\lim_{x\to +\infty}(\sqrt{x^2+3x}-x)
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Użyj sprzężenia √(x²+3x)+x.

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Dla x>0 dostajemy 3x/[√(x²+3x)+x] = 3/[√(1+3/x)+1].

Odpowiedź

32\frac32

Zadania 27–32: granice jednostronne

Odróżniaj przejście z prawej i z lewej, zwłaszcza przy asymptotach pionowych. Rozwiązania odsłaniasz dopiero po własnej próbie.

27

Dążenie do zera z prawej

Oblicz granicę

limx→0+1x\lim_{x\to 0^+}\frac1x
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Ustal znak mianownika dla x>0.

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Dodatnie liczby coraz bliższe zeru dają coraz większe wartości odwrotności.

Odpowiedź

+∞+\infty
28

Dążenie do zera z lewej

Oblicz granicę

limx→0−1x\lim_{x\to 0^-}\frac1x
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Ustal znak x, gdy do zera zbliżasz się z lewej.

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Odwrotności ujemnych liczb bliskich zeru maleją bez ograniczeń.

Odpowiedź

−∞-\infty
29

Logarytm przy zerze

Oblicz granicę

limx→0+ln⁡x\lim_{x\to 0^+}\ln x
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Uwzględnij dziedzinę ln x, czyli x>0.

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Gdy x maleje do zera od prawej, ln x zmierza do minus nieskończoności.

Odpowiedź

−∞-\infty
30

Dodatnia odwrotność kwadratu

Oblicz granicę

limx→0−1x2\lim_{x\to 0^-}\frac1{x^2}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Potęga druga usuwa ujemny znak mianownika.

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Wartość x² jest dodatnia i dąży do zera; jej odwrotność rośnie bez ograniczeń.

Odpowiedź

+∞+\infty
31

Asymptota pionowa z lewej

Oblicz granicę

limx→1−1x−1\lim_{x\to 1^-}\frac1{x-1}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Gdy x<1, różnica x−1 jest ujemna.

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Mianownik zbliża się do zera od strony ujemnej.

Odpowiedź

−∞-\infty
32

Asymptota pionowa z prawej

Oblicz granicę

limx→1+1x−1\lim_{x\to 1^+}\frac1{x-1}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Gdy x>1, różnica x−1 jest dodatnia.

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Mianownik zbliża się do zera od strony dodatniej.

Odpowiedź

+∞+\infty

Zadania 33–38: granice trygonometryczne

Podstawowe granice trygonometryczne zakładają miarę kąta w radianach. Rozwiązania odsłaniasz dopiero po własnej próbie.

33

Sinus podwojonego kąta

Oblicz granicę

limx→0sin⁡(2x)x\lim_{x\to 0}\frac{\sin(2x)}x
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Wykorzystaj granicę sin t/t = 1 dla t→0 (radiany).

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Przepisz sin(2x)/x = 2·sin(2x)/(2x).

Odpowiedź

22
34

Sinus i stała w mianowniku

Oblicz granicę

limx→0sin⁡(5x)3x\lim_{x\to 0}\frac{\sin(5x)}{3x}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Sprowadź ułamek do podstawowej granicy sin(5x)/(5x).

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Wyłącz czynnik 5/3; pozostała granica jest równa 1.

Odpowiedź

53\frac53
35

Tangens przy zerze

Oblicz granicę

limx→0tan⁡xx\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Zapisz tan x=sin x/cos x (radiany).

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Ułamek rozdziela się na (sin x/x)·(1/cos x). Oba czynniki dążą do 1.

Odpowiedź

11
36

Jeden minus cosinus

Oblicz granicę

limx→01−cos⁡xx2\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Skorzystaj z tożsamości 1−cos x=2sin²(x/2).

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Dostajemy (1/2)·[sin(x/2)/(x/2)]², co dąży do 1/2.

Odpowiedź

12\frac12
37

Kwadrat sinusa

Oblicz granicę

limx→0sin2⁡xx2\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2 x}{x^2}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Zapisz iloraz jako kwadrat sin x/x.

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Korzystając z podstawowej granicy, otrzymujemy 1²=1.

Odpowiedź

11
38

Iloraz sinusów

Oblicz granicę

limx→0sin⁡(3x)sin⁡(2x)\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{\sin(2x)}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Pomnóż i podziel tak, by otrzymać dwa ilorazy sin t/t.

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Przekształcenie daje (3/2)·[sin(3x)/(3x)]·[(2x)/sin(2x)].

Odpowiedź

32\frac32

Zadania 39–44: liczba e i logarytmy

Rozpoznawaj wzorce prowadzące do liczby e oraz podstawowe granice wykładnicze. Rozwiązania odsłaniasz dopiero po własnej próbie.

39

Granica prowadząca do e³

Oblicz granicę

limn→+∞(1+3n)n\lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac3n\right)^n
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Wykorzystaj klasyczną granicę (1+a/n)^n→e^a.

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Tutaj a=3. Podstawa dąży do 1, ale wykładnik równocześnie rośnie.

Odpowiedź

e3e^3
40

Granica prowadząca do e⁻²

Oblicz granicę

limn→+∞(1−2n)n\lim_{n\to +\infty}\left(1-\frac2n\right)^n
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Użyj tej samej granicy z parametrem a=−2.

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Dla dużych n podstawa jest dodatnia; wynik to e do potęgi −2.

Odpowiedź

e−2e^{-2}
41

Klasyczna granica przy zerze

Oblicz granicę

limx→0(1+x)1/x\lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Rozpoznaj postać 1 do potęgi nieskończoność.

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Logarytm wyrażenia to ln(1+x)/x, który dąży do 1; stąd wynik e.

Odpowiedź

ee
42

Parametr wewnątrz potęgi

Oblicz granicę

limx→0(1+4x)1/x\lim_{x\to 0}(1+4x)^{1/x}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Zapisz 1/x jako 4/(4x).

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Dostajemy [(1+4x)^(1/(4x))]^4, więc granica wynosi e⁴.

Odpowiedź

e4e^4
43

Logarytm w liczniku

Oblicz granicę

limx→0ln⁡(1+x)x\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}x
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Skorzystaj ze standardowej granicy logarytmicznej.

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Można również zastosować de l’Hospitala: (ln(1+x))′=1/(1+x).

Odpowiedź

11
44

Eksponenta i pochodna w zerze

Oblicz granicę

limx→0e2x−1x\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}x
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Użyj (e^t−1)/t→1 przy t→0.

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Przekształć wyrażenie do 2·(e^(2x)−1)/(2x).

Odpowiedź

22

Zadania 45–50: trudniejsze granice

Sprawdzaj warunki reguły de l’Hospitala i liczbę potrzebnych różniczkowań. Rozwiązania odsłaniasz dopiero po własnej próbie.

45

Drugi rząd funkcji wykładniczej

Oblicz granicę

limx→0ex−1−xx2\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Sprawdź 0/0 i dwukrotnie zastosuj de l’Hospitala.

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Pierwszy iloraz pochodnych to (e^x−1)/(2x), drugi to e^x/2 → 1/2.

Odpowiedź

12\frac12
46

Drugi rząd logarytmu

Oblicz granicę

limx→0ln⁡(1+x)−xx2\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Sprawdź warunki i użyj de l’Hospitala (ewentualnie rozwinięcia Taylora).

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Po pierwszym różniczkowaniu: (1/(1+x)−1)/(2x)=−1/[2(1+x)] dla x ≠ 0.

Odpowiedź

−12-\frac12
47

Sinus minus argument

Oblicz granicę

limx→0sin⁡x−xx3\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x^3}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Po kolejnych nieoznaczonościach 0/0 stosuj de l’Hospitala.

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Trzykrotne różniczkowanie daje (−cos x)/6 → −1/6. Kąty w radianach.

Odpowiedź

−16-\frac16
48

Eksponenta podzielona przez sinus

Oblicz granicę

limx→0ex−1sin⁡x\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{\sin x}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Zastosuj regułę de l’Hospitala lub iloczyn dwóch granic.

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Iloraz pochodnych ma postać e^x/cos x, więc dąży do 1.

Odpowiedź

11
49

Logarytm wolniejszy od x

Oblicz granicę

limx→+∞ln⁡xx\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Otrzymujesz nieoznaczoność ∞/∞.

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Reguła de l’Hospitala daje iloraz (1/x)/1, który dąży do 0.

Odpowiedź

00
50

Dwie funkcje wykładnicze

Oblicz granicę

limx→0ex−e−x2x\lim_{x\to 0}\frac{e^x-e^{-x}}{2x}
Pokaż rozwiązanie i wynik

Krok 1. Dobierz metodę

Po sprawdzeniu 0/0 zastosuj de l’Hospitala.

Krok 2. Przekształć wyrażenie

Pochodna licznika to e^x+e^(−x), mianownika 2. W x=0: (1+1)/2=1.

Odpowiedź

11

3. Typowe błędy na kolokwium

0/0 potraktowane jako zero

Postać nieoznaczona nie jest wartością granicy. Trzeba zbadać zachowanie funkcji.

Sprzężenie tylko z jednej strony

Mnożąc przez sprzężenie, stosuj równoważne przekształcenie całego ułamka.

Pominięcie jednej strony

Przy punktach podziału dziedziny i wartości bezwzględnej sprawdzaj granice z lewej i prawej.

Automatyczny de l’Hospital

Nie używaj reguły bez sprawdzenia nieoznaczoności i warunków twierdzenia.

4. Jak ćwiczyć granice dalej?

Jeśli trudne było sprzężenie, przejdź do granicy z pierwiastkiem. Jeśli nie zgadzały się granice z prawej i lewej, zobacz granice jednostronne. Przy nieoznaczonościach typu 0/0 możesz też porównać regułę de l’Hospitala z algebraicznymi metodami.

Przeczytaj także

Chcesz przećwiczyć cały dział?

Przejdź od pojedynczych przykładów do uporządkowanej nauki z rozwiązaniami zadań i wyjaśnieniami krok po kroku.

Poznaj kurs Granice i Pochodne

Możesz też wrócić do pełnej oferty kursów Calcula.