Algebra liniowa · Poradnik

Jak obliczyć wyznacznik macierzy 3×3? Reguła Sarrusa

Reguła Sarrusa pozwala szybko policzyć wyznacznik macierzy 3×3. Kluczowe jest odróżnienie trzech iloczynów dodawanych od trzech odejmowanych.

Reguła Sarrusa: wzór dla macierzy 3×3

Niech AA będzie macierzą o trzech wierszach i trzech kolumnach:

A=(abcdefghi)A=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}

Wyznacznik obliczamy jako sumę trzech iloczynów minus suma trzech pozostałych:

detA=aei+bfg+cdh−ceg−bdi−afh\det A=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh

Możesz przepisać z prawej strony dwie pierwsze kolumny macierzy i odczytać trzy przekątne w każdą stronę. Pamiętaj jednak, że ta technika jest przeznaczona dla macierzy 3×3.

Wyznacznik 3×3 — rozwiązany przykład krok po kroku

Obliczamy wyznacznik podanej macierzy

A=(123045106)A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&4&5\\1&0&6\end{pmatrix}

Iloczyny dodawane: 1⋅4⋅6=241\cdot4\cdot6=24, 2⋅5⋅1=102\cdot5\cdot1=10, 3⋅0⋅0=03\cdot0\cdot0=0.

Iloczyny odejmowane: 3⋅4⋅1=123\cdot4\cdot1=12, 2⋅0⋅6=02\cdot0\cdot6=0, 1⋅5⋅0=01\cdot5\cdot0=0.

detA=(24+10+0)−(12+0+0)=22\det A=(24+10+0)-(12+0+0)=22

Odpowiedź: 22.

Co mówi nam wyznacznik?

Dla macierzy kwadratowej niezerowy wyznacznik oznacza, że macierz jest odwracalna. Jeśli detA=0\det A=0, jej wiersze lub kolumny są liniowo zależne i macierz nie ma odwrotności.

Geometrycznie wartość bezwzględna wyznacznika macierzy 3×3 opisuje, jak bardzo dane przekształcenie liniowe skaluje objętość. Znak odróżnia zachowanie i odwrócenie orientacji.

Najczęstsze błędy przy liczeniu wyznacznika 3×3

Najłatwiej zgubić minus przed drugą trójką iloczynów. Zapisuj obie sumy w osobnych nawiasach, zanim je odejmiesz. Pilnuj również minusów znajdujących się wewnątrz samej macierzy.

Nie próbuj stosować reguły Sarrusa do macierzy 4×4 przez dopisywanie kolejnych kolumn. W takim przypadku użyj np. rozwinięcia Laplace’a lub eliminacji Gaussa.

Wyznacznik macierzy — zadania do ćwiczenia

01

Oblicz wyznacznik macierzy diagonalnej A.

Dane do zadania

A=(2000−30004)A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&-3&0\\0&0&4\end{pmatrix}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Wyznacznik macierzy diagonalnej jest iloczynem elementów przekątnej.

detA=2⋅(−3)⋅4=−24\det A=2\cdot(-3)\cdot4=-24
02

Oblicz wyznacznik macierzy A. Zwróć uwagę na jej wiersze.

Dane do zadania

A=(123123045)A=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\\0&4&5\end{pmatrix}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Pierwszy i drugi wiersz są identyczne. Wiersze są liniowo zależne, więc wyznacznik wynosi zero.

detA=0\det A=0
03

Oblicz wyznacznik macierzy trójkątnej A.

Dane do zadania

A=(120031005)A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&3&1\\0&0&5\end{pmatrix}
Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Macierz jest górnotrójkątna. Wyznacznik to iloczyn elementów głównej przekątnej.

detA=1⋅3⋅5=15\det A=1\cdot3\cdot5=15

Przeczytaj także

Chcesz przećwiczyć cały dział?

Przejdź od pojedynczych przykładów do uporządkowanej nauki z rozwiązaniami zadań i wyjaśnieniami krok po kroku.

Zobacz kurs Macierze i Układy Równań

Możesz też wrócić do pełnej oferty kursów Calcula.