Algebra liniowa · Poradnik

Macierze — 50 zadań z rozwiązaniami krok po kroku

50 zadań z macierzy od prostych działań po układy równań i zadania z parametrem. Rozwiązania możesz rozwinąć po własnej próbie. Wszystkie zadania pobierzesz także bezpłatnie w PDF.

Jak dobrać metodę do zadania z macierzy?

W zadaniach z algebry liniowej wybór metody zależy od tego, o co dokładnie pytają. Zanim zaczniesz liczyć, rozpoznaj typ problemu:

W poleceniu jest…	Co robisz?	Szczegółowy poradnik
Iloczyn AB	Wiersz razy kolumna	Mnożenie
Wyznacznik	Sarrus lub rozwinięcie Laplace’a	Wyznacznik 3×3
Macierz odwrotna	Wyznacznik, a następnie wzór lub Gauss-Jordan	Odwracanie
Rząd macierzy	Operacje na wierszach, postać schodkowa	Rząd
Układ równań	Cramer albo eliminacja Gaussa	Cramer

Zadania 1–6: sześć metod rozwiązanych krok po kroku

Sześć dotychczasowych zadań obejmuje różne techniki. Pozostałe 44 zadania znajdziesz poniżej w grupach tematycznych.

Pomnóż dwie macierze 2×2.

Dane do zadania

A = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{matrix})

B = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 4 & - 1 \end{matrix})

Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Obie macierze mają wymiar 2×2. Każdy element iloczynu otrzymujemy, mnożąc odpowiedni wiersz A przez kolumnę B:

Wiersz 1, kolumna 1: 1·2 + 2·4 = 10.

Wiersz 1, kolumna 2: 1·1 + 2·(−1) = −1.

Wiersz 2, kolumna 1: 0·2 + 3·4 = 12.

Wiersz 2, kolumna 2: 0·1 + 3·(−1) = −3.

AB = (\begin{matrix} 10 & - 1 \\ 12 & - 3 \end{matrix})

Dokładniejsze omówienie: mnożenie macierzy.

Oblicz wyznacznik macierzy 3×3.

Dane do zadania

A = (\begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & - 1 & 2 \\ 1 & 4 & 1 \end{matrix})

Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Stosujemy regułę Sarrusa. Suma iloczynów przekątnych w jednym kierunku wynosi:

2·(−1)·1 + 1·2·1 + 0·3·4 = −2 + 2 + 0 = 0.

Suma iloczynów przekątnych w przeciwnym kierunku:

0·(−1)·1 + 2·2·4 + 1·3·1 = 0 + 16 + 3 = 19.

det(A) = 0 − 19 = −19.

Więcej przykładów: reguła Sarrusa.

Wyznacz macierz odwrotną 2×2.

Dane do zadania

A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{matrix})

Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Wyznacznik wynosi 2·3 − 1·5 = 1, więc macierz jest odwracalna.

We wzorze dla macierzy 2×2 zamieniamy elementy na głównej przekątnej, a pozostałym zmieniamy znaki. Następnie dzielimy przez wyznacznik (tu przez 1).

A⁻¹ = (\begin{matrix} 3 & - 1 \\ - 5 & 2 \end{matrix})

Sprawdzenie: iloczyn A i A⁻¹ daje macierz jednostkową. Zobacz również inne metody odwracania macierzy.

Wyznacz rząd macierzy.

Dane do zadania

A = (\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix})

Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Drugi wiersz jest dwukrotnością pierwszego, więc nie zwiększa rzędu macierzy.

Po wykonaniu operacji W₂ ← W₂ − 2W₁ otrzymujemy:

(\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix})

Pozostają dwa liniowo niezależne niezerowe wiersze. Rząd macierzy wynosi 2.

Więcej: operacje elementarne i rząd macierzy.

Rozwiąż układ równań metodą Cramera.

Dane do zadania

x + y = 5

2x − y = 1

Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Macierz współczynników ma wyznacznik D = 1·(−1) − 1·2 = −3.

Po zastąpieniu pierwszej kolumny wyrazami wolnymi: Dₓ = 5·(−1) − 1·1 = −6.

Po zastąpieniu drugiej kolumny: Dᵧ = 1·1 − 5·2 = −9.

x = Dₓ / D = 2, y = Dᵧ / D = 3.

Sprawdzenie: 2 + 3 = 5 oraz 2·2 − 3 = 1. Zobacz też pełny poradnik o wzorach Cramera.

Rozwiąż układ trzech równań eliminacją Gaussa.

Dane do zadania

x + y + z = 6

2x + y − z = 1

x − y + 2z = 5

Pokaż odpowiedź i wskazówkę

Rozwiązanie krok po kroku

Od drugiego równania odejmij dwukrotność pierwszego, a od trzeciego odejmij pierwsze. Otrzymasz:

−y − 3z = −11

−2y + z = −1

Teraz od drugiego z tych równań odejmij dwukrotność pierwszego: 7z = 21, czyli z = 3.

Podstaw wstecz: −y − 9 = −11, więc y = 2. Z pierwszego równania: x = 6 − 2 − 3 = 1.

Odpowiedź: x = 1, y = 2, z = 3.

Zadania 7–14: dodawanie, odejmowanie i transpozycja

Ćwiczymy działania element po elemencie, transpozycję i własności macierzy. Każde zadanie ma dwustopniowe rozwiązanie i wynik.

Oblicz A + B dla macierzy 2×2.

Dane do zadania

Wykonaj działanie na odpowiadających sobie elementach.

A = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 3 & 4 \end{matrix})

B = (\begin{matrix} 5 & 2 \\ - 1 & 0 \end{matrix})

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Macierze mają identyczne wymiary. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie przez skalar wykonujemy na każdym elemencie osobno.

Krok 2. Przykładowo element (1,1): 1·(2) + (1)·(5) = 7. Powtórz dla wszystkich pól.

Odpowiedź

Wynik = (\begin{matrix} 7 & 1 \\ 2 & 4 \end{matrix})

Oblicz A − B dla macierzy 2×3.

Dane do zadania

Wykonaj działanie na odpowiadających sobie elementach.

A = (\begin{matrix} 4 & - 1 & 2 \\ 0 & 3 & 5 \end{matrix})

B = (\begin{matrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & - 1 & 0 \end{matrix})

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Macierze mają identyczne wymiary. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie przez skalar wykonujemy na każdym elemencie osobno.

Krok 2. Przykładowo element (1,1): 1·(4) + (-1)·(1) = 3. Powtórz dla wszystkich pól.

Odpowiedź

Wynik = (\begin{matrix} 3 & - 3 & - 2 \\ - 2 & 4 & 5 \end{matrix})

Oblicz 2A + B.

Dane do zadania

Wykonaj działanie na odpowiadających sobie elementach.

A = (\begin{matrix} 1 & 3 \\ - 2 & 4 \end{matrix})

B = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 5 & 0 \end{matrix})

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Macierze mają identyczne wymiary. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie przez skalar wykonujemy na każdym elemencie osobno.

Krok 2. Przykładowo element (1,1): 2·(1) + (1)·(2) = 4. Powtórz dla wszystkich pól.

Odpowiedź

Wynik = (\begin{matrix} 4 & 5 \\ 1 & 8 \end{matrix})

Oblicz 3A − 2B.

Dane do zadania

Wykonaj działanie na odpowiadających sobie elementach.

A = (\begin{matrix} 3 & 0 \\ - 1 & 2 \end{matrix})

B = (\begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & - 3 \end{matrix})

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Macierze mają identyczne wymiary. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie przez skalar wykonujemy na każdym elemencie osobno.

Krok 2. Przykładowo element (1,1): 3·(3) + (-2)·(1) = 7. Powtórz dla wszystkich pól.

Odpowiedź

Wynik = (\begin{matrix} 7 & - 8 \\ - 7 & 12 \end{matrix})

Wyznacz macierz transponowaną Aᵀ.

Dane do zadania

Zamień miejscami wiersze i kolumny.

A = (\begin{matrix} 1 & - 3 & 5 \\ 4 & 0 & 2 \end{matrix})

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Pierwszy wiersz A staje się pierwszą kolumną Aᵀ. Analogicznie postępuj z pozostałymi wierszami.

Krok 2. Macierz 2×3 po transpozycji ma wymiar 3×2.

Odpowiedź

Aᵀ = (\begin{matrix} 1 & 4 \\ - 3 & 0 \\ 5 & 2 \end{matrix})

Sprawdź, czy macierz A jest symetryczna.

Dane do zadania

Porównaj A oraz Aᵀ.

A = (\begin{matrix} 2 & - 1 & 3 \\ - 1 & 4 & 0 \\ 3 & 0 & 5 \end{matrix})

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Macierz jest symetryczna, gdy aᵢⱼ = aⱼᵢ dla każdej pary indeksów.

Krok 2. Pary poza przekątną: a₁₂=a₂₁=−1, a₁₃=a₃₁=3, a₂₃=a₃₂=0.

Odpowiedź

Tak, A = Aᵀ.

Oblicz ślad macierzy A.

Dane do zadania

Dodaj elementy na głównej przekątnej.

A = (\begin{matrix} 3 & - 2 & 0 \\ 5 & 4 & 1 \\ 2 & 7 & - 6 \end{matrix})

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Ślad to suma a₁₁+a₂₂+a₃₃.

Krok 2. tr(A) = 3 + 4 − 6 = 1.

Odpowiedź

tr(A) = 1

Znajdź macierz X z równania X + A = B.

Dane do zadania

Przekształć równanie macierzowe.

A = (\begin{matrix} 2 & - 1 \\ 4 & 3 \end{matrix})

B = (\begin{matrix} 5 & 2 \\ 1 & 7 \end{matrix})

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Odejmij A od obu stron równania: X = B − A.

Krok 2. Wykonaj odejmowanie odpowiednich elementów obu macierzy.

Odpowiedź

X = (\begin{matrix} 3 & 3 \\ - 3 & 4 \end{matrix})

Zadania 15–22: mnożenie macierzy

Pamiętaj o wymiarach i kolejności mnożenia. Iloczyny AB i BA są zazwyczaj różne. Każde zadanie ma dwustopniowe rozwiązanie i wynik.

Oblicz AB dla dwóch macierzy 2×2.

Dane do zadania

Pomnóż wiersze pierwszej macierzy przez kolumny drugiej.

A = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{matrix})

B = (\begin{matrix} 0 & 4 \\ - 1 & 2 \end{matrix})

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. A ma rozmiar 2×2, a B ma 2×2. Wewnętrzne wymiary są zgodne; wynik ma 2×2.

Krok 2. Element (1,1): 1·(0), 2·(-1) = -2. Pozostałe elementy oblicz tak samo.

Odpowiedź

AB = (\begin{matrix} - 2 & 8 \\ 0 & 12 \end{matrix})

Oblicz BA dla macierzy z zadania 15.

Dane do zadania

Pomnóż wiersze pierwszej macierzy przez kolumny drugiej.

A = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{matrix})

B = (\begin{matrix} 0 & 4 \\ - 1 & 2 \end{matrix})

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Kolejność mnożenia ma znaczenie: teraz mnożymy wiersze B przez kolumny A.

Krok 2. Element (1,1) = 0·1 + 4·3 = 12. Oblicz pozostałe trzy elementy i porównaj AB z BA.

Odpowiedź

BA = (\begin{matrix} 12 & 0 \\ 5 & - 2 \end{matrix})

Pomnóż macierz 2×3 przez macierz 3×2.

Dane do zadania

Pomnóż wiersze pierwszej macierzy przez kolumny drugiej.

A = (\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ - 1 & 3 & 1 \end{matrix})

B = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & - 2 \\ 4 & 3 \end{matrix})

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. A ma rozmiar 2×3, a B ma 3×2. Wewnętrzne wymiary są zgodne; wynik ma 2×2.

Krok 2. Element (1,1): 1·(2), 0·(0), 2·(4) = 10. Pozostałe elementy oblicz tak samo.

Odpowiedź

AB = (\begin{matrix} 10 & 7 \\ 2 & - 4 \end{matrix})

Pomnóż macierz 3×2 przez macierz 2×3.

Dane do zadania

Pomnóż wiersze pierwszej macierzy przez kolumny drugiej.

A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & - 1 \\ 3 & 2 \end{matrix})

B = (\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ - 2 & 3 & 1 \end{matrix})

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. A ma rozmiar 3×2, a B ma 2×3. Wewnętrzne wymiary są zgodne; wynik ma 3×3.

Krok 2. Element (1,1): 2·(1), 1·(-2) = 0. Pozostałe elementy oblicz tak samo.

Odpowiedź

AB = (\begin{matrix} 0 & 3 & 5 \\ 2 & - 3 & - 1 \\ - 1 & 6 & 8 \end{matrix})

Oblicz kwadrat macierzy A².

Dane do zadania

Pomnóż A przez A.

A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. A² oznacza iloczyn A·A, a nie podniesienie każdej liczby osobno do kwadratu.

Krok 2. Element (1,1) = 2·2 + 1·1 = 5. Analogicznie wyznacz trzy pozostałe.

Odpowiedź

A² = (\begin{matrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{matrix})

Oblicz AI dla macierzy jednostkowej I₃.

Dane do zadania

Skorzystaj z własności macierzy jednostkowej.

A = (\begin{matrix} 2 & - 1 & 0 \\ 4 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 5 \end{matrix})

I₃ = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Każda kolumna I zawiera jedną jedynkę na przekątnej, dzięki czemu wybieramy odpowiedni element wiersza A.

Krok 2. Iloczyn AI = A. To macierzowy odpowiednik mnożenia przez 1.

Odpowiedź

AI = (\begin{matrix} 2 & - 1 & 0 \\ 4 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 5 \end{matrix})

Pomnóż wiersz 1×3 przez kolumnę 3×1.

Dane do zadania

Pomnóż wiersze pierwszej macierzy przez kolumny drugiej.

A = (\begin{matrix} 2 & - 1 & 3 \end{matrix})

B = (\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ - 2 \end{matrix})

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. A ma rozmiar 1×3, a B ma 3×1. Wewnętrzne wymiary są zgodne; wynik ma 1×1.

Krok 2. Element (1,1): 2·(4), -1·(2), 3·(-2) = 0. Pozostałe elementy oblicz tak samo.

Odpowiedź

AB = (\begin{matrix} 0 \end{matrix})

Pomnóż dwie macierze diagonalne.

Dane do zadania

Pomnóż wiersze pierwszej macierzy przez kolumny drugiej.

A = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & - 3 \end{matrix})

B = (\begin{matrix} 4 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix})

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. A ma rozmiar 2×2, a B ma 2×2. Wewnętrzne wymiary są zgodne; wynik ma 2×2.

Krok 2. Element (1,1): 2·(4), 0·(0) = 8. Pozostałe elementy oblicz tak samo.

Odpowiedź

AB = (\begin{matrix} 8 & 0 \\ 0 & - 15 \end{matrix})

Odpowiedź

det(2A) = -28

Oblicz det(AB) bez mnożenia całych macierzy.

Dane do zadania

Zastosuj własność det(AB)=det(A)det(B).

A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})

B = (\begin{matrix} 3 & 0 \\ - 1 & 2 \end{matrix})

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. det(A)=1, det(B)=6.

Krok 2. Iloczyn wyznaczników wynosi 1·6=6.

Odpowiedź

det(AB) = 6

Zadania 30–35: macierz odwrotna

Najpierw sprawdzaj det(A) ≠ 0, potem wyznaczaj odwrotność lub rozwiązuj równanie AX=B. Każde zadanie ma dwustopniowe rozwiązanie i wynik.

Wyznacz A⁻¹ dla macierzy 2×2.

Dane do zadania

Wyznacz macierz odwrotną.

A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Najpierw oblicz det(A)=1. Ponieważ jest różny od zera, macierz odwrotna istnieje.

Krok 2. Dla A=[[a,b],[c,d]] wzór to (1/det A)·[[d,−b],[−c,a]]. Wynik możesz sprawdzić mnożeniem AA⁻¹=I.

Odpowiedź

A⁻¹ = (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix})

Wyznacz A⁻¹, gdy wyznacznik jest ujemny.

Dane do zadania

Wyznacz macierz odwrotną.

A = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix})

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Najpierw oblicz det(A)=-1. Ponieważ jest różny od zera, macierz odwrotna istnieje.

Krok 2. Dla A=[[a,b],[c,d]] wzór to (1/det A)·[[d,−b],[−c,a]]. Wynik możesz sprawdzić mnożeniem AA⁻¹=I.

Odpowiedź

A⁻¹ = (\begin{matrix} - 3 & 2 \\ 2 & - 1 \end{matrix})

Wyznacz A⁻¹ z ułamkami w wyniku.

Dane do zadania

Wyznacz macierz odwrotną.

A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix})

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Najpierw oblicz det(A)=3. Ponieważ jest różny od zera, macierz odwrotna istnieje.

Krok 2. Dla A=[[a,b],[c,d]] wzór to (1/det A)·[[d,−b],[−c,a]]. Wynik możesz sprawdzić mnożeniem AA⁻¹=I.

Odpowiedź

A⁻¹ = (\begin{matrix} \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{matrix})

Sprawdź, czy macierz A jest odwracalna.

Dane do zadania

Oblicz det(A).

A = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix})

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Dla macierzy 2×2 wyznacznik jest równy ad−bc.

Krok 2. det(A) = 1·4 − 2·2 = 0. Gdy det(A)=0, A⁻¹ nie istnieje.

Odpowiedź

Macierz A nie jest odwracalna.

Rozwiąż równanie macierzowe AX = B.

Dane do zadania

Pomnóż obie strony z lewej przez A⁻¹.

A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})

B = (\begin{matrix} 5 & 5 \\ 4 & 3 \end{matrix})

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Ponieważ det(A)=1, macierz jest odwracalna. Mamy X=A⁻¹B.

Krok 2. A⁻¹ = [[1,−1],[−1,2]]. Po wymnożeniu przez B otrzymujemy X.

Odpowiedź

X = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{matrix})

Sprawdź iloczyn AA⁻¹.

Dane do zadania

Oblicz A⁻¹ i sprawdź mnożeniem.

A = (\begin{matrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix})

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. det(A)=1, więc A⁻¹ istnieje i wynosi [[1,−1],[−2,3]].

Krok 2. Wymnóż A·A⁻¹: elementy na przekątnej wynoszą 1, a poza nią 0.

Odpowiedź

AA⁻¹ = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Zapisz macierz rozszerzoną [A|b], wykonaj eliminację Gaussa na całych wierszach.

Krok 2. Postać zredukowana: [1, 0, 0, 2]; [0, 1, 0, -1]; [0, 0, 1, 3]. Odczytaj wartości niewiadomych z ostatniej kolumny.

Odpowiedź

x = 2, y = -1, z = 3

Sprawdź, czy układ ma rozwiązanie.

Dane do zadania

Porównaj rząd A i [A|b].

A = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix})

b = (\begin{matrix} 3 \\ 8 \end{matrix})

x + 2y = 3

2x + 4y = 8

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Drugie równanie ma lewą stronę dwukrotnie większą od pierwszego.

Krok 2. Gdyby równania były zgodne, wyrazy wolne spełniałyby 8=2·3=6, a tak nie jest. r(A)=1, r([A|b])=2.

Odpowiedź

Układ sprzeczny — brak rozwiązań.

Wyznacz wszystkie rozwiązania układu zależnego.

Dane do zadania

Użyj parametru t.

A = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix})

b = (\begin{matrix} 5 \\ 10 \end{matrix})

x + 2y = 5

2x + 4y = 10

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Drugie równanie jest dwukrotnością pierwszego, więc mamy tylko jeden niezależny warunek.

Krok 2. Z równania x+2y=5 przyjmij y=t. Wtedy x=5−2t, gdzie t jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Odpowiedź

x = 5 − 2t, y = t, t ∈ ℝ

Rozwiąż układ 2×2 metodą Cramera.

Dane do zadania

Rozwiąż podany układ równań.

A = (\begin{matrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix})

b = (\begin{matrix} 5 \\ 0 \end{matrix})

3x + (1)y = 5

1x + (2)y = 0

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Wyznacznik współczynników D = 5. Wyznaczniki po podmianie kolumn: Dₓ=10, Dᵧ=-5.

Krok 2. x=Dₓ/D=2, y=Dᵧ/D=-1. Po podstawieniu oba równania są spełnione.

Odpowiedź

x = 2, y = -1

Zadania 48–50: zadania przekrojowe

Połącz kilka technik, by poradzić sobie z równaniami macierzowymi i parametrami. Każde zadanie ma dwustopniowe rozwiązanie i wynik.

Rozwiąż równanie 2X + A = B.

Dane do zadania

Wyznacz X = (B−A)/2.

A = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 1 & - 2 \end{matrix})

B = (\begin{matrix} 4 & 6 \\ - 1 & 2 \end{matrix})

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Odejmij A stronami, a następnie podziel każdy element przez 2.

Krok 2. Sprawdzenie: 2X + A odtwarza macierz B.

Odpowiedź

X = (\begin{matrix} 1 & 3 \\ - 1 & 2 \end{matrix})

Dla jakich t macierz A jest osobliwa?

Dane do zadania

Rozwiąż równanie det(A)=0.

A = (\begin{matrix} 1 & t \\ t & 4 \end{matrix})

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. det(A) = 1·4 − t·t = 4−t². Macierz jest osobliwa, gdy wyznacznik jest zerem.

Krok 2. 4−t²=0, zatem t²=4 i t=−2 lub t=2.

Odpowiedź

t = −2 lub t = 2

Oblicz A³, wykorzystując A².

Dane do zadania

Wyznacz najpierw A², następnie A²·A.

A = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. A² = [[1,2],[0,1]], bo mnożysz macierz przez nią samą.

Krok 2. A³ = A²·A, co daje [[1,3],[0,1]].

Odpowiedź

A³ = (\begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix})

Na co uważać podczas kolokwium z macierzy?

Wymiary: iloczyn AB istnieje tylko, gdy liczba kolumn A jest równa liczbie wierszy B.
Kolejność: AB i BA to zwykle różne działania.
Znaki wyznacznika: w regule Sarrusa odejmujesz sumę iloczynów przekątnych przeciwnych.
Odwracalność: macierz kwadratowa ma odwrotność tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest niezerowy.
Eliminacja Gaussa: wykonuj operację na całym wierszu, także na wyrazach wolnych.

W jakiej kolejności powtarzać macierze przed kolokwium?

Zacznij od mnożenia macierzy, bo ćwiczysz w ten sposób rachunek i rozmiary.
Powtórz wyznaczniki oraz warunki odwracalności.
Przejdź do macierzy odwrotnej i rzędu macierzy.
Na koniec rozwiązuj układy równań, stosując wzory Cramera oraz eliminację Gaussa.

Przeczytaj także

Chcesz przećwiczyć cały dział?

Przejdź od pojedynczych przykładów do uporządkowanej nauki z rozwiązaniami zadań i wyjaśnieniami krok po kroku.

Przejdź do kursu Macierze i Układy Równań

Możesz też wrócić do pełnej oferty kursów Calcula.